Espaço da coluna e complemento ortogonal
Tenho uma pergunta e não sei como resolvê-la. Eu tentei e provavelmente minha solução é$\textit{wrong}$para dizer o mínimo. Aqui vamos nós!
Suponha que temos $A_{m \times n}.$ Prove ou refute a afirmação: Cada vetor em $\mathbf{R^n}$ é também $C(A)$ ou $C(A)^\perp$ou ambos. Onde$C(A)$ é a extensão do espaço da coluna de $A$ e $C(A)^\perp$ é o complemento ortogonal de $A$.
Minha opinião: Cada matriz diz $A$, tem a classificação de propriedade$(A) \leq n$.
Então, se classificar$(A)<n$, então pelo menos uma coluna (vetor) de $A$ é linearmente dependente e classifica$(A) <$ classificação $(\mathbf{R^n})$ o que implica que $A$ não abrange $\mathbf{R^n}$ para que tenhamos $$\text{rank } \mathbf{(R^n)} = \text{ rank} (A) + \text{ rank } (A^\perp) $$ Da mesma forma, se classificar$(A)=n$, então todas as colunas (vetores) de $A$ são linearmente independentes e classificam$(A) =$ classificação $(\mathbf{R^n})$ o que implica que $A$ vãos $\mathbf{R^n}$ para que tenhamos $$\text{rank } \mathbf{(R^n)} = \text{ rank} (A) $$
Respostas
Isto está errado. Considere o$2\times 1$ matriz $\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right)$, então o espaço da coluna é $U=\operatorname{span}\left( \left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right)\right)$ e seu complemento ortogonal é $U^\perp=\operatorname{span}\left( \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right)\right)$.
O vetor $\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right)$ não é um elemento de $U$ e nenhum de $U^\perp$.
As outras respostas parecem confundir sindicatos e somas diretas.
Qualquer subespaço e seu complemento ortogonal particionam o espaço dado $R^n$. Portanto, qualquer vetor em$R^n$ ou pertence a algum subespaço U em $R^n$ ou pertence a $U^{\perp}$(o vetor zero pertence a ambos). Para mim, parece que não precisamos analisar a propriedade de$C(A)$.
Então eu olho mais de perto, $C(A)$ aqui está um subespaço em $R^m$, então, se não houver erro de digitação, afirmo que a afirmação está incorreta.