Espaços isometricamente isomórficos

Question

$X$ é isometricamente isomórfico com $Y$, então denotamos por $X \simeq Y$ e se $X \simeq Z$ para $Z$ um subespaço de $Y$, então denotamos por $X \preceq Y$ (notação inventada).

Provar que $X \simeq Y$, se e apenas se $X \preceq Y$ e $Y \preceq X$.

Na verdade, parece muito natural, mas não sei por que não posso escrever.

Answer 1

Apenas para oficializar as coisas (e para mover a discussão aqui, caso eu esteja errado):

Eu não acho que isso se mantenha. Eu acredito que você precisahttps://ncatlab.org/nlab/show/Cantor-Schroeder-Bernstein+theorem para que isso funcione, mas isso não é verdade para espaços de Banach.