Espectro do momento angular e momento angular ao quadrado
Estou tentando entender como construir o espectro do momento angular; é claro, uma vez que diferentes componentes do momento angular não comutam entre si, devemos escolher apenas um componente para focar: digamos que escolhemos o$L_z$ componente, e por isso queremos encontrar o espectro de $L_z$. Também sabemos, aliás, que cada componente do momento angular comuta com o quadrado do momento angular$\vec{L}^2$, para que possamos diagonalizar $L_z$ e $\vec{L}^2$simultaneamente. O problema é: por que devemos nos importar? Por que nos preocupamos em ter o espectro de autofunção de ambos$L_z$ e $\vec{L}^2$? Não poderíamos apenas determinar o espectro de$L_z$? Esta é a primeira parte da minha pergunta.
Mas digamos que nos importamos por algum motivo: para determinar as autofunções, eu esperaria um sistema como: $$L_z|m\rangle=a_{L_z}|m\rangle$$ $$\vec{L}^2|m\rangle=a_{L^2}|m\rangle$$ em vez disso, em minhas notas de aula, o seguinte sistema está presente: $$L_z|l \ \ m\rangle=\hbar m|l \ \ m\rangle$$ $$\vec{L}^2|l \ \ m\rangle=\lambda _l|l \ \ m\rangle$$ claro $a_{L_z},a_{L^2}$ são nomes arbitrários para os valores próprios e podemos substituí-los pelo que quisermos, incluindo $\hbar m$, podemos fazer isso, mas por quê? Por que existe um$\hbar$? . Por que está colocando um$\hbar$é útil? Isso não apenas cria mais confusão?
E em segundo lugar, mas o mais importante: por que os autovetores são rotulados com as duas letras$l,m$? Normalmente, quando vemos algo assim, por exemplo$|+ \ \ -\rangle$significa que estamos lidando com duas partículas (ou talvez que estejamos em 2D); por que o índice duplo está presente aqui, uma vez que estamos falando sobre a mesma coleção de autovetores para ambos os operadores? É simplesmente para mostrar que o mesmo autovetor está correlacionado com ambos$L_z$ valor e um $\vec{L}^2$ valor e dimensionalidade não tem nada a ver com isso?
Respostas
Por que nos preocupamos em ter o espectro de autofunção de ambos $L_z$ e $L^2$? Não poderíamos apenas determinar o espectro de$L_z$?
Ao contrário do que possa parecer, ter mais restrições torna o problema mais fácil de resolver, não mais difícil. Por exemplo, um autoestado genérico de$L_z$ com autovalor $0$ é da forma
$$|\psi\rangle = \sum_{\ell=0}^\infty c_\ell |\ell,0\rangle$$
que varia sobre todos os valores possíveis de $\ell$. Há uma tremenda degeneração aqui, e tentar encontrar uma solução com uma infinidade de constantes indeterminadas é um exercício de masoquismo totalmente desnecessário.
Em vez disso, também podemos exigir que nosso estado próprio de$L_z$ é um estado próprio de $L^2$também. Fazer isso elimina toda a nossa liberdade indesejada, porque os estados próprios simultâneos de$L_z$ e $L^2$ são únicos (até a multiplicação por uma constante, é claro).
é claro que aLz, aL2 são nomes arbitrários para os autovalores e podemos substituí-los pelo que quisermos, incluindo ℏm, podemos fazer isso, mas por quê? Por que existe um ℏ ?. Por que colocar um ℏ lá é útil? Isso não apenas cria mais confusão?
Os autovalores de $L_z$ são múltiplos inteiros de $\hbar$, e os valores próprios de $L^2$ são da forma $\ell(\ell+1)\hbar^2$ Onde $\ell$é um número inteiro não negativo. Você pode rotular um estado próprio simultâneo de$L^2$ e $L_z$ com os valores próprios, se desejar, mas isso levaria a expressões como
$$|6\hbar^2,2\hbar \rangle + |2\hbar^2,\hbar\rangle$$
ao invés de
$$|3,2\rangle + |1,1\rangle$$ onde, em vez disso, rotulamos os autoestados por inteiros $\ell$ e $m$. Se você quiser escrever$\hbar$está em todo o lugar e constantemente trabalhamos $\ell$ é quando você apenas escreveu $\ell(\ell+1)$, então você é bem-vindo, mas não é a convenção padrão e ninguém vai querer decifrar seu trabalho.
E em segundo lugar, mas o mais importante: por que os autovetores são rotulados com as duas letras l, m?
Porque os vetores próprios são vetores próprios simultâneos de ambos $L^2$ e $L_z$. Se você só escrever$|m\rangle$, como vou saber qual o valor de $\ell$ esse estado corresponde?
Normalmente, quando vemos algo assim, por exemplo | + −⟩, significa que estamos lidando com duas partículas (ou talvez que estejamos em 2D).
Este não é o caso aqui, nem geralmente é o caso. Uma das coisas com as quais você deve se acostumar se quiser ter sucesso com a física e a matemática avançadas é que a notação não significa mais ou menos do que o que definimos.
Em algum lugar do seu texto / aula, o autor / instrutor disse algo como "vamos rotular um autovetor simultâneo de $L^2$ e $L_z$ com dois inteiros, $\ell$ e $m$, para refletir o fato de que $L^2|\ell,m\rangle = \ell(\ell+1)\hbar^2 |\ell,m\rangle$ e $L_z|\ell,m\rangle = m\hbar|\ell,m\rangle$"então é isso que significa. Se você não está familiarizado com algum bit de notação, então você precisa verificar onde está definido, mas agora você já passou do estágio em que pode esperar que a notação sirva como uma definição. As ideias você está trabalhando são muito sutis e complicados para serem condensados em alguns símbolos, então você precisa manter as definições em sua cabeça (ou consultar uma referência quando necessário).
É simplesmente para mostrar que o mesmo autovetor está correlacionado com ambos $L_z$ valor e um $L^2$ valor e dimensionalidade não tem nada a ver com isso?
$\uparrow$ Sim.