Essa função `` quase injetiva '' pode existir?

Question

Deixei $\pi: X\to Y$ ser uma função sobrejetora entre os espaços compactos, métricos e conectados $X$, $Y$e $Y_0 = \{y\in Y: \#\pi^{-1}(y)>1\}$. Suponha que:

1. $Y_0$ é denso em $Y$,
2. $Y\setminus Y_0$ é um denso $G_\delta$ dentro $Y$e
3. $\#\pi^{-1}(y) \leq N$ para todos $y\in Y$ e uma constante universal $N$.

Minha pergunta é: pode uma função $\pi$assim existe? Talvez eu precise de mais hipóteses sobre a topologia de$X$ e $Y$.

Observe que a conexão é crucial: as codificações sturmianas de rotações irracionais do círculo são funções sobrejetivas $\pi:K\to S^1$ do conjunto Cantor (um espaço totalmente desconectado) e do círculo tal que $\#\pi^{-1}(y) = 2$ para $y$ em um subconjunto denso contável $Y_0 \subseteq S^1$ e $\#\pi^{-1}(y) = 1$ para $y \in S^1\setminus Y_0$.

A condição (3) também é necessária: se $f\colon[0,1]\to[0,1]$é a função do Thomae ,$X = \{(x,y)\in[0,1]^2 : 0\leq y\leq f(x)\}$ é o subgrafo de $f$, $\pi: X\to[0,1]$ é a projeção na primeira coordenada, e $Y_0 := \{y\in Y: \#\pi^{-1}(y)>1\} = [0,1]\cap\mathbb{Q}$, então $X$ está conectado e (1), (2) espera, mas $\pi(y)$ é um conjunto incontável quando $y \in Y_0$.

Depois de construir esses exemplos, estou mais convencido do que no início de que $\pi$ deve ser injetivo.

Eu apreciaria qualquer comentário.

Answer 1

Acho que este exemplo é uma função sobrejetiva não injetiva que satisfaz sua hipótese. $$\pi\colon[0,1]\to[0,1]$$ $$t\mapsto\left\lbrace\begin{array}{ll} t &\mbox{if $t$ is irrational}\\2\min\{t,1-t\}&\mbox{if $t$ is rational}\end{array}\right.$$

Aqui $Y_0=(\mathbb{Q}\cap[0,1])\setminus\{\frac{1}{2}\}$, que é denso em $[0,1$]; o complemento$[0,1]\setminus(\mathbb{Q}\setminus \{\frac{1}{2}\}) $ é denso também e forma um $G_\delta$conjunto. E$card(\pi^{-1}(t))$ é igual a $1$ para irracional $t$ e $t=\frac{1}{2}$ mas é igual $2$ para racional $t\neq \frac{1}{2}$.