Esta é a prova de que $\sin(x^2)$ é contínuo em $\mathbb{R}$ corrigir?

Question

Estou tentando provar o resultado especificamente com épsilon-delta, em vez de composição de funções contínuas.

Devemos provar:

$$\forall c \in \mathbb{R} \forall \epsilon>0\exists\delta>0\forall x\in \mathbb{R}(0 < |x-c| < \delta \rightarrow |\sin(x^2)-\sin(c^2)| < \epsilon)$$

Desde a $\sin(x^2)-\sin(c^2) \leq 2|\sin(\frac{x^2-c^2}{2})| \leq |x^2 - c^2|$, se pudermos encontrar um $\delta$ de tal modo que $|x-c| < \delta \rightarrow |x^2 - c^2| < \epsilon$, acabamos.

Levar $\delta = \min\{\frac{\epsilon}{|3c|},|c|\}$. Então nós temos$|x-c|<\delta \rightarrow x < |c|+c \leq |2c|$. Isso significa que$\frac{\epsilon}{|3c|} < \frac{\epsilon}{|x+c|}$. Mas assumimos que$|x-c| < \frac{\epsilon}{|3c|}$, portanto, temos

$$|x-c| < \delta \rightarrow |x-c|< \frac{\epsilon}{|x+c|} \rightarrow |x-c||x+c| < \epsilon \rightarrow |x^2 - c^2| < \epsilon$$

e, portanto $|\sin(x^2) - \sin(c^2)|<\epsilon$ e a prova está completa. $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

Estou procurando especificamente para ver se minha lógica com a escolha de $\delta$está correto, e se funciona com os sinais de módulo. Em particular, eu não tinha certeza da melhor maneira de relacionar os termos$|x-c||x+c|$ e $|x-c|$, já que o produto ser maior ou menor depende de quão perto $x$ é para $c$.

Answer 1

Alguns comentários -

1. A identidade trigonométrica algébrica não nomeada deve ser declarada. Depois que isso for usado, o principal problema que você tem é apenas sobre a continuidade do$x^2$ (que é semelhante em espírito ao resultado de "composição de contínuo é contínuo" que você está evitando)

2. E se $c=0$, então sua escolha de $\delta$ é aparentemente $0$. Isso não é permitido. Mais distante,$\frac1{|c|}(=\infty?)$aparece nas seguintes linhas; você deve sempre ter medo de dividir por zero.

3. Você provou $x+c \le 3|c|$. Por que isso implica$|x+c|\le 3|c|$?

Aqui está uma correção. De$|x|\le |c|+|x-c|\le |c|+\delta$, $$|x+c| \le |x|+|c| \le 2|c|+\delta.$$ Agora deixe $$\delta = \min (1,\frac{\epsilon}{2|c|+1}).$$ Veja se você consegue terminar.