Estimador consistente - consistente com o que exatamente?

Question

Vamos supor que o DGP real (dados do mundo real) é gerado a partir do modelo:

$$y_i = \beta_0 + \beta_1x_{1i} + \beta_2x_{2i} + \varepsilon_i$$

Vamos assumir ainda que $x_1$ e $x_2$estão correlacionados. Precisamente,$x_1$é uma variável de confusão , que causa $x_2$:

$$x_{2i} = \alpha_0 + \alpha_1 x_{1i} + u_i$$

O pesquisador não conhece as informações acima, ele tem certeza, que o verdadeiro modelo possui apenas uma variável, e assume a seguinte forma funcional:

$$ y_i = \gamma_0 + \gamma_2x_{2i} + v_i $$

O que podemos nós, que sabemos tudo, dizer sobre a consistência do estimador $\hat \gamma_2$?

• É inconsistente, porque o estimador consistente tem limite no 'parâmetro do mundo real', que neste caso é $\beta_2$.
• É consistente, porque o estimador consistente tem limite nos parâmetros do 'modelo assumido'. Nesse caso$\gamma_2$. É o modelo, que não se ajusta ao mundo real, não o estimador.

Eu vejo essas duas possibilidades. Qual é (mais) verdadeiro e o que é mais importante - por quê ?

Answer 1

Nem. Um estimador é consistente para algum parâmetro , portanto, neste caso, a resposta é

• Sim, $\hat\gamma_2$ é consistente para $\beta_2$
• Não, $\hat\gamma_2$ não é consistente para $\gamma_2$ (ou para $\beta_0$ ou muitas outras coisas).

Neste caso, as suposições causais sugerem que você estaria mais interessado em saber se era consistente para $\gamma_2$, mas você ainda precisa dizer "consistente para $\gamma_2$", não apenas" consistente ". O mesmo é verdadeiro para 'enviesado' e 'não enviesado': um estimador é enviesado ou não enviesado para um parâmetro

Às vezes, há realmente apenas um limite interessante, e é um abuso razoável de notação deixá-lo implícito, mas uma reivindicação de consistência exige a especificação do limite.