Exemplo elementar para a forma indeterminada $1^\infty$

Question

Estou conversando sobre matemática com um aluno brilhante do ensino médio, que ainda nem viu os logaritmos nas aulas. (Introduzimos registros com sucesso como o inverso da exponenciação.) Ela está intrigada com este vídeo e formas indeterminadas. Discutimos como "$1^\infty$"é realmente o mesmo que"$0/0$"

Eu gostaria de discutir um exemplo de "$1^\infty$". Infelizmente, todos os exemplos que consigo encontrar e tudo o que encontro na internet usam isso$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ Como $t\to 0$, que é " um fato bem conhecido " ou uma aplicação da regra de L'Hospital - ambas as quais considero insatisfatórias.

Existe um exemplo não trivial para o "$1^\infty$"forma indeterminada (então, não apenas $1^t$ para $t\to\infty$) que pode ser analisado usando apenas a definição do logaritmo como a função inversa da exponenciação, sem cálculos ou fatos que eu precisaria tirar da cartola?

Answer 1

Quem pode esquecer o exemplo clássico:

$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?

Se expandirmos $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ com o Teorema Binomial e compare os termos com os poderes correspondentes de $1/n$ para diferentes valores de $n$, descobrimos que esta função aumenta à medida que $n$ aumenta sem limites, mas a função é limitada pela série convergente

$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$

Portanto, o limite é garantido para existir e, portanto, é definido como $e$, da qual a regra $[\ln(1+x)]/x\to1$ Como $x\to 0$ segue.

Answer 2

Por que não apenas consertar $k>0$ (por exemplo: $k=2$) e olhe para $(k^{1/n})^n$?

É bastante claro intuitivamente que $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ Como $n\to\infty$; por outro lado, claramente$n\to\infty$ quando $n\to\infty$. Assim, você tem o caso$1^\infty$ que realmente converge para $k$ (e não apenas converge para $k$mas é constante ), que você escolheu arbitrariamente para começar.

Agora, isso é fácil de expandir com $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ ou $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, que convergem para $0$ e $\infty$ (em alguma ordem, desde que $k\ne 1$)

Answer 3

Nós buscamos $f,\,g$ com $f\to1,\,g\to\infty$, diga como $x\to0$, de modo que $f^g$ pode ter qualquer limite $L\in[0,\,\infty]$ou nenhum. Exemplos:

• $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ para $L>1$
• $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ para $L\in(0,\,1)$
• $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ para $L=1$
• $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ para $L=0$
• $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ para $L=\infty$
• $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ para $\lim_{x\to0}f^g$ ser indefinido.

A substituição $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ shows $1^{-\infty}$ funciona da mesma maneira, mas ninguém lista isso separadamente.