Exemplos de condutor T?

Question

Estou lutando para entender o conceito de um condutor T em álgebra linear. Eu sei a definição, mas alguns exemplos seriam úteis.

Definição. Deixei$W$ ser um subespaço invariável para $T$ e deixar $\alpha$ ser um vetor em $V$. o$T$-condutor de $\alpha$ para dentro $W$ é o conjunto $S_T(\alpha;W)$, que consiste em todos os polinômios $g$ (sobre o campo escalar) de modo que $g(T)\alpha$ é em $W$. (p.201, Seção 6.4)

Eu preciso de alguns exemplos de condutor T

Desde já, obrigado

Answer 1

Aqui está um exemplo. Deixei$T:\Bbb C^4 \to \Bbb C^4$ ser a transformação associada à matriz da forma Jordan $$ \pmatrix{\mu&1&0&0\\0&\mu&0&0\\ 0&0&\lambda&1\\0&0&0&\lambda}. $$ Deixei $W$ denotam o subespaço estendido pelo vetor $e_1 = (1,0,0,0)$. Deixei$e_1,\dots,e_4$ denotam a base padrão de $\Bbb C^n$. Nós agora descrevemos$S_T(\alpha;W)$ para vários vetores diferentes $\alpha$:

• Para $\alpha = e_2$, $S_T(\alpha;W)$ é o conjunto de polinômios divisíveis por $p(t) = (t-\mu)$
• Para $\alpha = e_3$, $S_T(\alpha;W)$ é o conjunto de polinômios divisíveis por $p(t) = (t-\lambda)(t-\mu)$
• Para qualquer $\alpha$ fora do intervalo de $\{e_1,e_2,e_3\}$, $S_T(\alpha;W)$ é o conjunto de polinômios divisíveis por $(t-\mu)(t-\lambda)^2$.
• Para qualquer $\alpha \in W$, $S_T(\alpha;W)$é o conjunto de todos os polinômios
• Para qualquer $v \in \Bbb C^4$ e $\alpha = e_1 + v$, $S_T(\alpha;W) = S_T(v;W)$