Existe um conceito de limite de fórmulas
Eu me pergunto se existe uma noção como o limite de fórmulas (e estruturas) porque acredito que seja importante na descrição de estruturas contáveis (de estruturas finitas). (Para obter mais detalhes, consulte este artigo .) Agora dou um excelente exemplo que o ilustra. O exemplo é o denominado átomo de Quine. Deixei$$ I_n=\{I_{n-1}\},\quad\text{for } n\geqslant1, \:\text{and } I_0=G_0. $$ Onde $G_0\neq\{G_0\}$. Ao aplicar repetidamente o axioma da extensionalidade, obtemos\begin{align} \phi_n&\iff\exists !\:y_n\in I_n \\ &\iff \exists !y_n(y_n=I_{n-1}) \\ &\iff\exists !y_n((\exists !y_{n-1}\in y_n)(y_{n-1}\in I_{n-1})\land (\exists !y_{n-1}\in I_{n-1})(y_{n-1}\in y_n)) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n\land y_{n-1}\in I_{n-1}) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \exists !y_{n-1}(y_{n-1}=I_{n-2}) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land\exists !y_{n-1}((\exists !y_{n-2}\in y_{n-1})(y_{n-2}\in I_{n-2})\land(\exists !y_{n-2}\in I_{n-2})(y_{n-2}\in y_{n-1})) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \exists !y_{n-1}\exists !y_{n-2}(y_{n-2}\in y_{n-1}\land y_{n-2}\in I_{n-2}) \\ &\quad\:\vdots \\ &\iff \exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \bigwedge_{1\leqslant j\leqslant n-1}\exists !y_j\exists !y_{j-1}(y_{j-1}\in y_{j})\quad\quad\quad\quad\text{(1)} \end{align} Claramente, para qualquer $n<\omega$, $I_{n}\models \phi_n$. Isso sugere que podemos definir o limite das fórmulas da seguinte maneira.
Edit: Como apontado no exemplo de @ Goldstern, as fórmulas para limite não podem ser muito gerais. Então, nós os limitamos a um$\aleph_0$-teoria categórica. (No entanto, poderia ser estendido à teoria de uma estrutura contável saturada.)
Definição 1 : Suponha que para qualquer$n<\omega$, $\varphi_{n}$ está em um $\aleph_0$-teoria categórica $T$ dentro $L$ (uma linguagem infinita de $L_{\omega_1, \omega}$) e $M_{n}\models \varphi_{n}$. Se por algum$n$, existe um $N_n$ isso para qualquer $k>N_n,\:M_{k}\models \varphi_{n}$, então $\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_{n}$ é uma fórmula (única) (até equivalência) em $L$, e $\lim_\limits{n\to\omega}M_{n}$ é um (único) $L$-estrutura. Deixei$\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_{n}=\varphi_{\omega}$ e $\lim_\limits{n\to\omega}M_{n}=I_{\omega}$. Então$M_{\omega}\models \varphi_{\omega}$.
Além disso, os axiomas a seguir valem para o limite das fórmulas.
- $\lim_\limits{n\to\omega}(\phi_{n}\land\varphi_n)=\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}\land\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_n$
- $\lim_\limits{n\to\omega}\neg\phi_{n}=\neg\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$
- $\lim_\limits{n\to\omega}\exists x\phi_{n}=\exists x\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$
- $\lim_\limits{n\to\omega}\bigwedge_\limits{1\leqslant j\leqslant n}\phi_j=\bigwedge_\limits{ n<\omega}\phi_n$
Podemos provar a partir dos axiomas acima que
$\lim_\limits{n\to\omega}(M_{n-1}\in M_n)=\lim_\limits{n\to\omega}M_{n-1}\in \lim_\limits{n\to\omega}M_{n}$
$\lim_\limits{n\to\omega}\exists x_n(M_{n-1}\in M_n)=\exists\lim_\limits{n\to\omega} x_n(\lim_\limits{n\to\omega}M_{n-1}\in \lim_\limits{n\to\omega}M_{n})$
(Para provas detalhadas, consulte este artigo .)
$\operatorname{Th}(I_n)$ é $\aleph_0$-categorico porque qualquer $I_i$ pode ser mapeado um a um para $I_j$, e por isso é homogêneo. Uma vez que a linguagem da teoria dos conjuntos é relacional finita,$\operatorname{Th}(I_n)$ é $\aleph_0$-categórico. Pela definição 1 e (1), podemos ver que$\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$ e $\lim_\limits{n\to\omega}I_{n}$ambos são únicos. Deixei$\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}=\phi_{\omega}$ e $\lim_\limits{n\to\omega}I_{n}=I_{\omega}$. Então$I_{\omega}\models \varphi_{\omega}$. além disso\begin{align} \phi_{\omega}&=\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n} \\ &=\lim_\limits{n\to\omega}\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \lim_\limits{n\to\omega}\bigwedge_{1\leqslant j\leqslant n-1}\exists !y_j\exists !y_{j-1}(y_{j-1}\in y_{j}) \\ &=\exists !I_{\omega}(I_{\omega}\in I_{\omega})\land \bigwedge_{n<\omega}\exists !y_n\exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_{n})\quad\quad\quad(\lim_\limits{n\to\omega}y_n=I_{\omega}) \end{align}
portanto $I_{\omega}=\{I_{\omega}\}$, ie $I_{\omega}$ é um átomo de Quine.
Como o limite das fórmulas (para estruturas finitas) pode descrever completamente o átomo de Quine, acredito que ele (irá) desempenhar um papel significativo na investigação de estruturas contáveis. Gostaria de confirmar que a noção acima de limite de fórmulas e raciocínio não está disponível na teoria dos modelos atuais e, portanto, pertence a um novo campo de pesquisa.
Edit: Em seguida, darei dois exemplos sobre como aplicar o limite de fórmulas para estudar alguns resultados conhecidos na teoria de modelos.
Exemplo 1: Há um grande número arbitrário na teoria dos números não padrão.
Deixei $\phi_n=\exists x\bigwedge_\limits{m\leqslant n}(x>m)$ e $M_n\models \phi_n$. Desde para qualquer$k>n, \:x>k\to x>n, \:M_k\models \phi_n$. Então, o limite de$\phi_n$ existe e $$ \lim_\limits{n\to\omega}\exists x\bigwedge_\limits{m\leqslant n}(x>m)=\exists x\bigwedge_\limits{n<\omega}(x>n) $$ E há um $M\models \exists x\bigwedge_\limits{n<\omega}(x>n)$.
O segundo exemplo mostra que a teoria de DLO sem endpoints é o limite de união de deslocamentos de inteiros.
Exemplo 2: Suponha$T$ é a teoria da DLO sem pontos de extremidade e $M_n=\bigcup_\limits{1\leqslant j<n}(\Bbb{Z}+j/n)$. Então$\lim_\limits{n\to\omega}\bigcup_\limits{n<\omega}M_n=\Bbb{Q}$ e $T = Th(\Bbb{Q})$.
Suponha $\varphi_n,\phi_n,\delta_n$ são sentenças que especificam as propriedades de ordenação linear, um subconjunto denso e conjunto sem pontos finais para $M_n$. Então
\begin{align} \varphi_n &= (∀x,y,z∈M_n)(x≤x∧(x≤y∧y≤x⇒x=y)∧(x≤y∧y≤z⇒x≤z)) \\ \phi_n &= (∀x,y∈M_n)(x<y⇒(∃z∈M_{l})(l>n∧x<z<y)) \\ \delta_n &= (∀x∈M_n)((∃y∈M_n)(y<x)∧(∃y∈M_{n})(x<y)) \end{align} Para qualquer $x,y∈M_{n}\:(x<y)$, conjunto $N_{n}=2n$. Então$∀k>N_{n},\:∃z∈M_{k}$ este $x<z<y$, ie $M_{k}\models φ_{n}$. Desde a$ℤ\modelsϕ_{n}∧δ_{n},\:M_{k}\models ϕ_{n}∧φ_{n}∧δ_{n}$ e $T$ é $ℵ_0$-categórico, $\lim_\limits{n\to\omega}M_n$é único. E\begin{align} \lim_\limits{n\to\omega}ϕ_{n} &=(∀x,y,z∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x≤x∧(x≤y∧y≤x⇒x=y)∧(x≤y∧y≤z⇒x≤z)) \\ \lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n} &=(∀x,y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<y⇒(∃z∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<z<y)) \\ \lim_\limits{n\to\omega}δ_{n} &=(∀x∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)((∃y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(y<x)∧(∃y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<y)) \end{align} Desde a $\lim_\limits{n\to\omega}ϕ_{n},\lim_\limits{n\to\omega}φ_{n}, \lim_\limits{n\to\omega}δ_{n}$ são axiomas de $Th(\Bbb{Q}),\: \lim_\limits{n\to\omega}M_n=\Bbb{Q}$ e $T = Th(\Bbb{Q})$.
Respostas
Não tenho certeza de quais axiomas da teoria dos conjuntos você deseja usar. Certamente não é o fundamento, mas acho que pelo menos o axioma singleton é permitido.
Considerar $M_0:= \{x\}$, Onde $x$ algum elemento é satisfatório $x\not=\{x\}$. $M_{n+1}:=\{M_n\}$. Deixei$\varphi_n$ estar $\phi_n \wedge \psi$, Onde $\phi_n$ é a sua fórmula, e $\psi$diz que o elemento único não é um elemento de si mesmo. Então, por seus argumentos, o limite$M_\omega$ deve satisfazer $M_\omega = \{M_\omega\}$, mas também deve satisfazer $\psi$, o que é uma contradição.
Portanto, seus axiomas e regras levam a uma prova de $x=\{x\}$ para todos $x$.
Pode ser que eu tenha esquecido alguma coisa. Na verdade, estou apenas supondo que linguagem formal você está usando.