Existência de matriz circulando em uma determinada base

Question

Deixei $(v_1, \ldots , v_n)$ ser uma base para $\mathbb{R}^n$. Um exercício que eu me dei foi mostrar isso para$n$ estranho, existe uma matriz única $M$ enviando $v_1$ para $v_2, \ldots, v_{n-1}$ para $v_n$ e $v_n$ para $v_1$. Essencialmente$M$atua como um ciclo com base. E para$n$ até, $M$ trocaria $v_1$ e $v_2$, $v_3$ e $v_4$, $\ldots,$ $v_{n-1}$ e $v_n$.

Focando no caso onde $n$ é estranho, tudo que consegui mostrar foi que se $M$ realmente existe, teria determinante $1$, tem todos os valores próprios $1$ com multiplicidade algébrica $n$, e tem vetor próprio $v_1 + \ldots + v_n$ com multiplicidade geométrica $1$. Mas estou lutando para mostrar que existe ou mesmo construir exemplos, além da matriz simétrica ciclando a base padrão.

Essa matriz existe? Os resultados parciais acima estão corretos? Eu apreciaria qualquer sugestão para este exercício.

Answer 1

Em geral, você tem isso se $B$ é uma base para um espaço vetorial $V$ então para cada função $f:B\rightarrow V$ existe exatamente um mapa linear $g:V\rightarrow V$ de tal modo que $g(b)=f(b)$ para todos os elementos da base.

Você pode obter a matriz para tal transformação apenas escrevendo as imagens da base coluna por coluna. Portanto, neste caso, cada coluna terá exatamente um$1$.

Embora eu possa dizer que o tipo de matriz de que você está falando é chamado de matriz de permutação, e você está realmente correto que, neste caso, o determinante é $1$ E se $n$ é estranho e $-1$ E se $n$ é mesmo.