Existência de uma função analítica no disco

Question

Deixei $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}\subset\mathbb C$. Existe uma função analítica não constante$g:D\to\mathbb C$ satisfatório $$g\bigg(\frac1n\bigg)=g^2\bigg(-\frac{1}n\bigg), \,\,\,\,\,\text{for every integer $n$ greater than 1?} $$

Aqui está o que eu fiz:

Estou assumindo que a resposta é não, então suponha, por uma questão de contradição, que tal $g$existe. Considere a sequência$(1/2,1/3,1/4,\dots)$ de quem estão os termos $D$. Esta sequência é convergente para$0$. Defina uma função$h(z)=g(z)-g^2(-z)$, que é analítico. Nós vemos que$$ h(1/2)=h(1/3)=h(1/4)=\dots=0, $$ Do Teorema da Identidade, $h$ é zero em todos os lugares $D$. Então eu concluo que$g(z)=g^2(-z)$em toda parte. O que devo fazer a partir daqui? Obrigado.

Answer 1

Claramente, constante $g\equiv 0$ ou $g\equiv 1$ ambos satisfazem essa relação.

Presumir $g$ não é constante.

E se $g(z)=g^2(-z)$, então $g(0)=g^2(0)$, e, portanto $g(0)=0$ ou $1$.

A. Se $g(0)=0$, então $g(z)=z^kf(z)$, para algum número inteiro positivo $k$ e $f$ analítica no disco da unidade, com $f(0)=a\ne 0$. Nesse caso, temos$$ n^{-k}f(1/n)=g(1/n)=g^2(-1/n)=n^{-2k}f^2(-1/n) $$ e, portanto $$ f(1/n)=n^{-k}f^2(-1/n) $$ Impossível, pois $f(1/n)\to a\ne 0$, enquanto $n^{-k}f^2(-1/n)\to 0$, Como $n\to\infty$.

B. Se $g(0)=1$, então $g(z)=1+z^kf(z)$, Onde $f$ analítica no disco da unidade e $f(0)=a\ne 0$, nesse caso $$ 1+n^{-k}f(1/n)=g(1/n)=g^2(-1/z) =\big(1+(-n)^{-k}f(-1/n)\big)^2=\\=1+2(-n)^{-k}f(-1/n)+n^{-2k}f^2(-1/n) $$ e, portanto $$ f(1/n)=2(-1)^kf(-1/n)+n^{-k}f^2(-1/n) $$ que como $n\to\infty$, tende a $$ a=2(-1)^ka. $$ Contradição.

Portanto, apenas uma constante $g\equiv 0$ ou $g\equiv 1$ poderia satisfazer $g(1/n)=g^2(-1/n)$, para todos $n>1$.

Answer 2

Iterando $g(z)=g^{2}(-z)$ Nós temos $g(z)=g^{2^{n}}((-1)^{n} z)$. E se$|g(z)| >1$ Nós temos $|g(z)|=|g^{2^{n}}((-1)^{n} z)| \to \infty$ Como $n \to \infty$através de valores pares, uma contradição. Conseqüentemente$|g(z)| \leq 1$ para todos $z$ Similarmente, $|g(z)| <1$ implicaria $g(z)=0$. E se$|g(z)|=1$ para todos $z$ então $g$é uma constante por MMP. Portanto, não há solução não constante.