Explicando derivadas direcionais
Estou tentando entender o conceito de derivada direcional, da perspectiva do meu livro-texto de cálculo multivariável. Digitei um resumo da explicação, com as perguntas que não consegui responder em negrito. Quaisquer respostas intuitivas, respostas geométricas, respostas físicas são bem-vindas. Respostas formais e rigorosas também são bem-vindas. Explicações parciais (respondendo apenas uma das perguntas etc) também são muito bem-vindas!
Considere o problema de calcular a taxa de variação de $\phi$em alguma direção particular. Para um deslocamento vetorial infinitesimal$d \mathbf{r},$ formando seu produto escalar com $\nabla \phi$ nós obtemos $$ \begin{aligned} \nabla \phi \cdot d \mathbf{r} &=\left(\mathbf{i} \frac{\partial \phi}{\partial x}+\mathbf{j} \frac{\partial \phi}{\partial y}+\mathbf{k} \frac{\partial \phi}{\partial z}\right) \cdot(\mathbf{i} d x+\mathbf{j} d y+\mathbf{k} d x) \\ &=\frac{\partial \phi}{\partial x} d x+\frac{\partial \phi}{\partial y} d y+\frac{\partial \phi}{\partial z} d z \\ &=d \phi \end{aligned} $$ que é a mudança infinitesimal em $\phi$ indo da posição $\mathbf{r}$ para $\mathbf{r}+d \mathbf{r} .$ Em particular, se $\mathbf{r}$ depende de algum parâmetro $u$ de tal modo que $\mathbf{r}(u)$ define uma curva de espaço, então a derivada total de $\phi$ em relação a $u$ ao longo da curva é simplesmente $$ \frac{d \phi}{d u}=\nabla \phi \cdot \frac{d \mathbf{r}}{d u}. $$ Pergunta 1: Como conseguimos isso? Devo apenas dividir os dois lados do$\nabla \phi \cdot d \mathbf{r} = d\phi$ de $du$? Nem sei se é uma operação válida. No caso particular em que o parâmetro$u$ é o comprimento do arco $s$ ao longo da curva, a derivada total de $\phi$ em relação a $s$ ao longo da curva é dado por $$ \frac{d \phi}{d s}=\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{t}} $$ Onde $\hat{\mathbf{t}}$é a unidade tangente à curva no ponto determinado. Pergunta 2: então por que não$\frac{d \phi}{d s} = 0$? Certamente$\nabla \phi$ é perpendicular / tangente à superfície de $\phi$, então será perpendicular a $\hat{\mathbf{t}}$! Em geral, a taxa de mudança de$\phi$ com respeito à distância $s$ em uma direção particular, um é dado por $$ \frac{d \phi}{d s}=\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{a}} $$ (Pergunta 3: (pergunta mais urgente) Não tenho ideia de como obter / entender o resultado acima / por que o resultado acima é válido. Além disso, devo pensar $\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{a}} = \nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{t}}?$) e é chamada de derivada direcional. Desde a$\hat{\mathbf{a}}$ é um vetor unitário que temos $$ \frac{d \phi}{d s}=|\nabla \phi| \cos \theta $$ Onde $\theta$ é o ângulo entre $\hat{\mathbf{a}}$ e $\nabla \phi$. Claramente$\nabla \phi$ encontra-se na direção do aumento mais rápido em $\phi$ e $|\nabla \phi|$ é o maior valor possível de $d \phi / d s$. Pergunta 4: eu entendo que o maior valor possível de$d \phi / d s$ é quando $\theta = 0$, que é a direção de $\nabla \phi$, mas por que o maior $\frac{d \phi}{d s}$ implica direção de aumento mais rápido de $\phi$?
Respostas
Eu acho que a melhor maneira de entender as fórmulas para a derivada direcional é entender a derivada total, que é a "melhor" generalização da derivada no cálculo de variável única. Uma função$\varphi:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ é chamado totalmente diferenciável em $x_0$ se houver um mapa linear $L:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ de tal modo que $f(x)\approx f(x_0)+L(x-x_0)$. A definição específica de$\approx$ não é muito importante agora.
Este mapa linear $L$ é chamado de diferencial (total) de $f$ em $x_0$. A maioria dos conceitos importantes no cálculo multivariável se resume ao diferencial total. O Jacobiano de uma função é a representação matricial do diferencial total. A transposição do gradiente também. E no cálculo de variável única, a representação da matriz teria apenas uma única entrada, que é a derivada 1d. Agora, para uma notação inequívoca, escrevemos o diferencial total de$f$ em $x_0$ Como $\mathrm Df(x_0)$. Precisaremos dessa notação para generalizar a regra da cadeia: se$f$ e $g$ são funções diferenciáveis, então $f\circ g$ também é diferenciável e sustenta que
$$\mathrm D(f\circ g)(x)=\mathrm Df(g(x))\mathrm Dg(x).$$
Substituir $\mathrm Df=f'$ e $\mathrm Dg=g'$para obter a regra da cadeia 1d. Agora, todas as suas fórmulas são aplicações dessa regra de cadeia generalizada. A derivada direcional de$\varphi$ pelo caminho $\mathbf r$ é a derivada de $\varphi\circ\mathbf r$, isso é
$$\mathrm D(\varphi\circ r)=\mathrm D\varphi(\mathbf r)\mathrm D\mathbf r.$$
Com $\mathrm D\varphi=\nabla\varphi$ e $\mathrm D\mathbf r=\partial_u\mathbf r$você obtém todas as suas fórmulas. Basta escolher uma parametrização apropriada do caminho$r$.
Agora, às suas perguntas.
Pergunta 1: Você consegue isso pela regra da cadeia, conforme mencionado acima.
Questão 2: $\mathbf t$ é tangente ao caminho, mas como o caminho se encontra em relação às superfícies equipotenciais de $\varphi$é mencionado em lugar nenhum. Pode ser tangente, caso em que a derivada direcional seria de fato$0$. Mas não precisa ser assim.
Pergunta 3: você escolhe o caminho$\mathbf r(u)=\mathbf x_0+u\mathbf a$, e depois $\partial_u\mathbf r=\mathbf a$. O resto é a regra da cadeia. E sim, para este caminho específico, o vetor tangente$\mathbf t$ é exatamente $\mathbf a$.
Questão 4: Isso é o que a derivada direcional é: uma medida para a taxa de variação em uma determinada direção. De acordo com a fórmula, é maior na direção do vetor gradiente, porque então$\cos\theta=1$. Portanto, o vetor gradiente aponta na direção de aumento mais rápido.