Faz $U^c \subseteq B$ implica $B^c \subseteq U$?

Question

Suponha $U, B$ são ambos subconjuntos de $X$ e eu quero saber se $U^c \subseteq B$ implica $B^c \subseteq U$. Parece que o caso é verdadeiro porque eu desenhei alguns diagramas de Venn e eles parecem valer, mas não tenho certeza se esse é o caso, pois acredito que poderia haver alguns contra-exemplos. Alguém poderia me dar algumas idéias? Obrigado!

Answer 1

Resumidamente: Se $x\in B^c$ então $x\notin B$, assim $x\notin U^c$, conseqüentemente $x\in U$.

Answer 2

E se $x \in B^\complement$. Eu afirmo que de fato$x \in U$ Porque

E se $x \notin U$ então $x \in U^\complement \subseteq B$ assim $x \in B$ contradizendo $x \in B^\complement$.

Portanto, a inclusão é válida. Alternativamente, você pode usar o fato lógico

$$p \to q \iff \lnot q \to \lnot p$$ aplicado a $p:= (x \in B^\complement)$ e $q:= (x \in U)$.