Fechamento na teoria do esquema

Question

Deixei $X$ ser um esquema e $(U_i)_{i\in I}$ uma cobertura aberta,

(1) Dado um subconjunto $Z\subset X$, porque $Z\cap U_i$ está fechado para todos $i$ implica que $Z$ está fechado?

(2) Let $A$seja um anel. Dado um esquema de morfismo$f:X\rightarrow \operatorname{spec} A$ de tal modo que $f_Y:X \times_{\operatorname{spec}A} Y\rightarrow Y$ está fechado para todos os afins $A$ esquemas $Y$, isso implica que $f$ é universalmente fechado?

Answer 1

(1) Porque então

$$X-Z=\bigcup_i \left(U_i-(U_i\cap Z)\right)$$

e desde $U_i\cap Z$ está fechado em $U_i$ nós vemos que $U_i-(U_i\cap Z)$ está aberto em $U_i$ e assim aberto em $X$.

(2) Sim, por 1). Para verificar isso$f$ é universalmente fechado, deixe $Y$ seja qualquer $A$-scheme. Precisamos mostrar isso$f(X_Y)$ está fechado em $Y$. Mas deixe$Y=\bigcup_i U_i$ para subesquemas abertos afins $U_i$ do $Y$. Por 1) é suficiente ver que$f(X_Y)\cap U_i$ está fechado para todos $i$. Mas, note que$f(X_Y)\cap U_i=f(X_{U_i})$. Na verdade, isso segue do diagrama cartesiano

$$\begin{matrix} X_{U_i} & \to & X_Y & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\ U_i & \to & Y & \to & \mathrm{Spec}(A)\end{matrix}$$

Então, basta mostrar que $f(X_{U_i})$está fechado. Mas desde$U_i$ é um afim $A$-scheme sabemos disso por suposição.

Answer 2

Morfismos finitos de esquemas são fechados. . Veja a resposta aqui para a primeira parte.

Deixei $Y$ feijão $A$-scheme. Dizer$Y=\bigcup_i Y_i$ Onde $Y_i \subset Y$são subesquemas afins abertos. Deve mostrar$f_Y : X\times_A Y\rightarrow Y$é um mapa fechado. Deixei$C\subset X\times_A Y$. Conjunto$C_i:= C\cap X\times_A Y_i=(id \times \theta_i)^{-1}(C)$. Então$C_i$ está fechado em $X\times_A Y_i$ que é um sub-esquema aberto de $X\times_A Y$. Temos o diagrama comutativo$\require{AMScd}$ \ begin {CD} X \ times_A Y_i @> {f_ {Y_i}} >> Y_i \\ @V {id \ times \ theta_i} VV @V {\ theta_i} VV \\ X \ times_A Y @> {f_Y} >> S \ fim {CD} $f_Y(C)\cap Y_i=\theta_i^{-1}f_Y(C)=f_{Y_i}(id\times \theta_i)^{-1}C=f_{Y_i}(C_i)$ que está fechado em $Y_i$por suposição. Então, na parte anterior,$f(C)$ está fechado em $Y$. portanto$f$ é universalmente fechado.