Filtros de aproximação e IIR

Question

Considere o sistema invariante no tempo de tempo discreto com entrada $x[n]$ e saída $y[n]$ satisfatório

$$y[n] = \sum_{k=1}^5{x[n-k]}$$

Considere aproximar o sistema desejado com um sistema IIR de segunda ordem com função do sistema

$$H^{'}(z)= \frac{1}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}$$

Use o seguinte critério de erro:

Onde $h_d$ é a resposta de impulso desejada. $$E = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\lvert h_d[n]+a_1h_d[n-1]+a_2h_d[n-2]\right\rvert^2$$

Como a função de erro específica pode ser útil para resolver o sistema de equações ou a resposta de impulso desejada?

Preciso tirar derivada de ambos $a_1$ e $a_2$ e torná-lo 0 para obter o sistema de equações?

Agora é isso que estou recebendo: $$0 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}( h_d[n]h_d[n-1]+a_1h_d[n-1]h_d[n-1]+a_2h_d[n-2]h_d[n-1])$$ e
$$0 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}( h_d[n]h_d[n-2]+a_1h_d[n-1]h_d[n-2]+a_2h_d[n-2]h_d[n-2])$$

Agora, como posso resolver esse sistema de duas equações e como posso aproximar a resposta de impulso desejada a partir disso?

Answer 1

Acho que é instrutivo tentar entender como essa função de erro é derivada e por que faz sentido. Primeiro, a resposta de impulso desejada$h_d[n]$ é dado implicitamente pela relação entrada-saída do sistema desejado:

$$y[n]=\sum_{k=1}^{5}x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_d[k]x[n-k]\tag{1}$$

A função de erro fornecida é a função de erro minimizada pelo método de Prony para o projeto de filtros IIR. Tentamos aproximar uma determinada função de transferência$H_d(z)$ por um filtro IIR $H(z)=B(z)/A(z)$:

$$B(z)\stackrel{!}{=}H_d(z)A(z)\tag{2}$$

Para o exemplo dado, obtemos (com $B(z)=1$)

$$1\stackrel{!}{=}\left(h_d[0]+h_d[1]z^{-1}+\ldots+h_d[N-1]z^{-(N-1)}\right)\left(1+a_1z^{-1}+z_2z^{-2}\right)\tag{3}$$

Para equação $(3)$ para ficarmos satisfeitos, precisamos de todos os coeficientes associados a potências negativas de $z$ desaparecer:

$$\begin{align}h_d[1]+h_d[0]a_1&\stackrel{!}{=}0\\ h_d[2]+h_d[1]a_1+h_d[0]a_2&\stackrel{!}{=}0\\ h_d[3]+h_d[2]a_1+h_d[1]a_2&\stackrel{!}{=}0\\\vdots\end{align}\tag{4}$$

Na prática, podemos resolver $(4)$ de forma aproximada, minimizando a soma dos quadrados do lado esquerdo, levando à função de erro dada

$$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\big(h_d[n]+h_d[n-1]a_1+h_d[n-2]a_2\big)^2\tag{5}$$

Finalmente, os coeficientes ideais $a_1$ e $a_2$ são obtidos tomando a derivada de $(5)$ wrt $a_1$ e $a_2$e igualando-os a zero. Isso resulta em duas equações lineares com duas incógnitas.