Finitude de $\pi_n(Top/O)$

Question

Para $n>4$ um pode identificar $\pi_n(Top/O)$ via teoria de suavização como classe de concordância de estruturas suaves em $S^n$onde duas estruturas são concordantes se limitam uma estrutura lisa no produto com um intervalo. Eu vi que alegou que esses grupos de homotopia são finitos, por exemplo, quando é afirmado$BO \rightarrow BTop$ é uma equivalência racional.

Gostaríamos de usar o trabalho de Kervaire e Milnor, que mostra a finitude das esferas de homotopia orientadas, mas não vejo como ir de uma afirmação sobre o tipo de difeomorfismo para uma afirmação sobre a classe de concordância. É verdade que uma esfera concordante é equivalente a difeomórfica? Essa concordância implica que o difeomorfismo é verdadeiro pelo teorema do h-cobordismo, mas acredito que, para algumas variedades, pelo menos a outra maneira não é válida.

Answer 1

Aqui, estou essencialmente apenas repetindo o que Siebenmann escreveu no Ensaio V do volume de Kirby-Siebenmann, enquanto busco algumas definições das primeiras seções:

Deixei $n \geq 5$. Por trabalho de Kirby e Siebenmann sobre a conectividade de$Top(n)/O(n) \rightarrow Top/O$, $\pi_n(Top/O)=\pi_n(Top(n)/O(n))$. O último é o que escolheremos para trabalhar. Na seção 5.3 o espaço$\Omega^n Top(n)/O(n)$ foi identificado com o espaço de alisamentos de $S^n$em relação a um disco com estrutura lisa padrão. Conseqüentemente,$\pi_n(Top(n)/O(n))$ são as classes de concordância de tais estruturas suaves.

Podemos considerar a inclusão de tais suavizações nas suavizações de homotopia de $S^n$em relação a um disco (talvez até h-cobordismo?). A sujetividade segue da conjectura de Poincaré e a injetividade do que Siebenmann chama de "isotopia de Alexander", não tenho certeza do que seja.

Então este conjunto de suavizações de homotopia de $S^n$ em relação a um disco tem um mapa para o grupo de esferas de homotopia orientadas dado usando a equivalência de homotopia para transportar a orientação de $S^n$para a esfera de homotopia e depois esquecendo a equivalência de homotopia. Este mapa é sobrejetivo, pois qualquer esfera de homotopia contém um disco padrão. O principal para mostrar a injetividade é que, até a orientação, há uma única classe de isotopia de discos embutidos em nossa esfera de homotopia.

Esta cadeia de bijeções mostra que $\pi_n(Top/O)$ para $n\geq 5$ é $\Theta_n$, o grupo de esferas de homotopia orientadas. Eu acho que qualquer sutileza nesta prova surgiria ao mostrar que incluir suavizações em suavizações de homotopia é injetivo, então eu examinarei mais adiante a "isotopia de Alexander".