Fino em qualquer tamanho?

Question

Lembre-se desta questão que chamamos de slimdownable inteiro positivo ou slim para breve se for parte de uma sequência de inteiros onde cada um é seguido por si mesmo dividido por seu comprimento , ou seja, seu número de dígitos. Em particular, cada um deve ser divisível por seu comprimento e a sequência cairá até atingir um número de um único dígito.

Exemplos:

108: magro porque $108\overset{/3}{\rightarrow}36\overset{/2}{\rightarrow}18\overset{/2}{\rightarrow}9\overset{/1}{\circlearrowleft}$

78: não fino porque $78\overset{/2}{\rightarrow}39\overset{/2}{\rightarrow}\Vert$

Prove ou refute que para qualquer número inteiro positivo $n$ existe um número pequeno com $n$ dígitos.

Nota: você pode usar um computador para produzir um contra-exemplo ou, por exemplo, para complementar um resultado assintótico, ou qualquer outra coisa que você achar adequado. Se você decidir fazer isso, para validar seu código, responda às seguintes perguntas de teste:

Existem soluções com $11111$dígitos? Se sim: quantos? Quais são os primeiros 10 dígitos de sua mediana?
Para cada$n$ entre $1$ e $11111$ calcular o número de soluções com $n$dígitos. Qual é a maior contagem?

Aqui está um caso de teste que você pode usar como uma verificação de integridade rápida para seu código:

Em 3590 dígitos, existem quatro soluções. Todos eles emagrecem para$6$. Os primeiros dez dígitos desses números são '3159252337 ...', '3735860235 ...', '4606981484 ...', '6706597705 ...'.

Answer 1

Conclusão:

Para qualquer $n$-número de dígitos, não pode existir um número reduzido para todos os inteiros positivos $n$.

Raciocínio:

Para todos $n$, deve haver um múltiplo de $n$ isso é $n$-digits long.

Vamos ligar para o nosso $n$-digite o número $Z$.
Leve em consideração que em$10^{ceil(log(n))}$ - vamos chamar isso $a$, deve haver $a/n$ múltiplos de $n$. Isso fornece nosso caminho para baixo no processo de emagrecimento.
Vamos olhar para trás$Z$. Pelas 2 etapas anteriores, desde que escolhemos o certo$Z$, haverá pelo menos um número $y$ de comprimento $(n-a)$ ou $(n-a+1)$ Onde $y = Z/n$ e pode ser expresso com um novo $Z$ para repetir o processo.

Agora sou o orgulhoso proprietário de uma planilha do Excel que gerou novos valores começando de 5-9 (uma vez que 1-4 não pode gerar um número de 2 dígitos) e terminando onde o Excel atinge um erro #Value.

A imagem abaixo está em ordem decrescente (9 a 5)

O que está me consumindo é grande $n$.

Para $n$ = 1 bilhão, não posso garantir que haverá um número reduzido para $n$entre 1 bilhão - 1 e 1 bilhão - 9, especialmente porque só tenho 5 caminhos iniciais.
E uma vez que a lacuna ficaria cada vez maior à medida que$n\rightarrow\infty$, não pode haver um número reduzido para todos os inteiros positivos$n$.

por exemplo, para$n$ = $1E1,000,000$, minha divisão faria com que o primeiro número caísse em 6 casas e eu poderia preencher a lacuna com apenas 5 caminhos determinísticos, mas eventualmente, ela não seria preenchida.