Fórmula do ângulo paralelo de Bolyai？

Question

Eu vi o seguinte 【Teorema？】 em um livro escrito em japonês . De acordo com o livro, esse teorema parece ser o resultado da investigação de Boyai das propriedades que as linhas paralelas satisfazem em condições não euclidianas.

A tradução literal do nome japonês deste teorema pode ser "Fórmula do ângulo paralelo de Bolyai". Como este livro foi escrito para o público em geral e tem uma descrição muito aproximada disso, não posso especificar a declaração detalhada do teorema.

【Minha pergunta】
(1) Qual é o nome desse teorema em inglês?
(2) Qual é a declaração exata deste teorema?

Talvez isso seja verdade no (a metade superior do) plano hiperbólico bífido, mas não no $S^2$, estou certo?

O que eu quero saber é que teorema pode ser derivado de "algumas premissas ‡" + "duas linhas paralelas podem ser traçadas".
‡ .Provavelmente axiomas e cânones da geometria euclidiana diferentes do postulado paralelo , certo?

【Teorema？】
Suponha que existem duas † retas paralelas que são paralelas à reta 'a' e passam pelo ponto 'P'. Neste momento, se o comprimento da linha perpendicular (PH) desenhada do ponto P para a linha reta 'a' é x, e o ângulo formado por esta linha perpendicular (PH) e a linha paralela é θ, então seguindo a equação é satisfeito.

$$\tan\left(\theta\left(x\right)/2\right)=\exp\left(-\left(x/k\right)\right) \tag{1※}$$†. Ao usar a língua japonesa, podemos obscurecer "apenas dois" ou "pelo menos dois". Não sei em que significado o "dois" foi escrito.
※ .Não consigo encontrar nenhuma descrição para o que é o parâmetro 'k' na Equação 1.

Talvez seja semelhante ao conteúdo do artigo da Wikipedia, "Ângulo de paralelismo" . No entanto, o artigo não assume que "duas linhas paralelas podem ser desenhadas". No entanto, a fórmula nesta página é a seguinte em nossa notação. Ou seja, parece ser o caso para k = 1.$$\tan\left(\theta\left(x\right)/2\right)=\exp\left(-\left(x\right)\right)　\tag{2}$$

Além disso, na Equação 1, se determinarmos x, o θ parece ser determinado de forma única, estou certo? Assim, também me pergunto onde há espaço para duas (ou mais) linhas retas serem desenhadas. (Isso significa que podemos desenhar mais de uma linha perpendicular (PH)?)

Answer 1

A resposta aqui busca interpretar o diagrama em termos do conhecimento do tempo presente com a origem da geometria hiperbólica. Eu estava procurando pelo Community Wiki ...

Para a superfície hiperbólica bidimensional embutida em $ \mathbb R^3:$

Se pegarmos $x$ para representar o ângulo polar / central calculado a partir do equador cúspide, e $\theta $ como o ângulo de paralelismo que a geodésica hiperbólica faz com o meridiano de uma pseudoesfera em seu plano tangente, temos a equação paramétrica de uma pseudoesfera de curvatura gaussiana, o raio cúspide equatorial respectivamente:

$$ K= {-1}/{a^2},a=1, \; k=a $$

$$ \sin \theta = \text{sech x} = r/a $$

No equador cúspide $ (\theta=\pi/2, x=0) $. A uma distância infinita, estes são$ (0,\infty)$ respectivamente.

Aqui temos

raio em coordenadas cilíndricas, ângulo polar, coordenada ao longo do eixo de simetria, ângulo formado pela tangente da geodésica hiperbólica ao meridiano e eixo de simetria,

respectivamente correspondem como:

$$ r, t, z, \psi= \phi, $$

inter-relacionado com

$$ r= a \text{ sech t}, z= a (t- \tanh t)$$ e

$$ \sin \psi= r/a, \text{or} \sin \phi= r/a \; $$

para a pseudoesfera de Beltrami ou a Rede de Chebychev respeitando a equação diferencial de Sine-Gordon

$$ \dfrac{d(2\psi )}{ds} = \sin 2 \psi,\; \dfrac{d(2\phi )}{ds} = \sin 2 \phi; $$

Existem apenas dois paralelos hiperbólicos com o eixo de simetria que passa por qualquer ponto. Esses dois paralelos hiperbólicos são duas linhas assintóticas que formam o ângulo$2\psi$ entre eles conforme mostrado em vermelho.

As equações acima e os conceitos básicos estão de acordo com a compreensão moderna da geometria hiperbólica da pseudoesfera.

O diagrama inicial de Bolyai

Se usarmos os símbolos fornecidos no diagrama para denotar, interprete para uma correspondência completa:

$$( x=PH ) \rightarrow r,\; \theta \rightarrow (\pi/2-\phi=\pi/2-\psi)$$

ou seja, quando $\theta$no diagrama é o ângulo feito pela geodésica hiperbólica para o círculo paralelo e não para o meridiano, então há uma correspondência completa imho com o entendimento atual.

Não se pode deixar de notar que os Bolyai usaram símbolos que para qualquer ponto $P$ da pseudoesfera ao eixo, há uma distância normal variável $PH$ do equador cúspide ao eixo no sentido euclidiano, $ a>PH>0.$

Por outro lado, há uma distância hiperbólica constante$HP$ entre a geodésica hiperbólica através $P$ marcado como $b$ por Bolyai e sua linha paralela marcada $a$ contendo $H$porque essas duas linhas são paralelos hiperbólicos .