Fórmula para a área de um losango

Question

Você pode provar a seguinte afirmação? A afirmação é inspirada porhttps://en.wikipedia.org/wiki/Harcourt%27s_theorem#:%7E:text=Harcourt%27s%20theorem%20is%20a%20formula,Harcourt%2C%20an%20Irish%20professor..

Em qualquer losango $ABCD$ construir uma tangente arbitrária ao círculo do losango. Deixei$n_1,n_2,n_3,n_4$ ser uma distância sinalizada dos vértices $A,B,C,D$à linha tangente, respectivamente, de modo que as distâncias a uma tangente de pontos em lados opostos tenham sinais opostos, enquanto aquelas de pontos no mesmo lado têm o mesmo sinal. Denote o comprimento lateral do losango por$a$ e a área do losango por $A$ , então $a(n_1+n_2+n_3+n_4)=2A$

O miniaplicativo GeoGebra que demonstra essa afirmação pode ser encontrado https://www.geogebra.org/m/v5ja7cej. Tentei adaptar a prova do teorema de Harcourt dada emhttp://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200313.pdf mas sem sucesso.

Answer 1

Deixei $r$seja o inradius do losango. Claramente, desde$A$ e $C$ são simétricos sobre $I$, como são $B$ e $D$, temos$$(n_1-r)+(n_3-r)=0,$$ $$(n_2-r)+(n_4-r)=0.$$ Portanto, é suficiente provar $$2ar=A.$$No entanto, esta é uma consequência imediata do fato de que a área de qualquer polígono é igual ao seu semiperímetro vezes o seu raio de infravermelho (sempre que este existir).$\blacksquare$