Formulários de conexão
Encontro o seguinte parágrafo no livro Manifolds and diferencial geometry de Jeffrey M.Lee (seção 12.2 Formulários de conexão, página 506):
Deixei $\pi : E \longrightarrow M $ ser um pacote vetorial de classificação r com uma conexão $\nabla$. Lembre-se de que a escolha de um campo de quadro local em vez de um conjunto aberto$U \subset M $ é equivalente a uma banalização da restrição $\pi_U : {E|}_U \longrightarrow U . $ Ou seja, se $ \phi = (\pi, \Phi)$ é tal trivialização sobre U, então definir $e_i(x)= \phi ^{-1}(x,e_i)$, Onde $(e_i)$ é a base padrão de $\mathbb{F}^n$, temos um campo de quadro $(e_1,...,e_k).$Agora examinamos a expressão para uma determinada derivada covariante do ponto de vista de tal campo local. Não é difícil ver que para cada campo de quadro deve haver uma matriz de formas 1$\omega = {(\omega_j^i)}_{1≤i,j≤r}$ tal que para $X \in \Gamma(U,E)$ podemos escrever $$\nabla_Xe_j =\sum\limits_{i=1}^k {\omega_j^i}(X)e_i$$
Minha pergunta é como posso provar a existência de tal matriz de formas 1?
Respostas
Nós sabemos isso $\nabla_Xe_i$ é uma seção suave de $E$e trabalhando localmente em um quadro $(U,e_1,\ldots, e_k)$ como você é nós temos $$ \nabla_Xe_i=\sum_{j=1}^n \omega^j_i(X)e_j$$ Onde $\omega^j_i:\mathfrak{X}(U)\to C^\infty(U).$ É fácil ver usando $\nabla_{aX+bY}=a\nabla_X+b\nabla_Y$ este $\omega^j_i$ é linear, mas mais é verdade. $\omega^j_i$ é tensorial porque $\nabla_{fX}=f\nabla_X$ de modo a $\omega^j_i(fX)=f\omega^j_i(X)$. Conseqüentemente,$\omega^j_i$ é um bom $(0,1)-$campo tensor sobre $U$. Ou seja, o$(\omega_j^i)$ formar um $k\times k$ matriz de suave $1-$formulários sobre $U$.
Editar: trata da questão levantada nos comentários.
Você quer expressar a matriz $(\omega_j^i)_{i,j}$definido localmente como uma seção de um feixe de endomorfismos. É possível definir formas diferenciais com valor de pacote vetorial. Na verdade, isso não é tão difícil. Em uma banalização local de$E$ dado por $(U,e_1,\ldots, e_r)$ a $E-$diferencial valorizado $k-$forma é uma expressão da forma $\eta=\eta^1\otimes e_1+\cdots +\eta^r\otimes e_r$ para cada $\eta^i$ uma $k-$Formato. Ou seja, temos um$k-$forma na frente de cada elemento do quadro, de modo que determinado $X_1,\ldots, X_k$ campos de vetor na mesma vizinhança aberta, $$ \eta(X_1,\ldots, X_k)=\sum_{i=1}^r \eta^i(X_1,\ldots,X_k)e_i$$ define uma seção de $E$ sobre $U$. Com tudo isso dito, se$E$ é localmente trivial com $e_1,\ldots, e_r$ um quadro local, então $\operatorname{End}(E)$ também é trivializado, com quadro dado pelas matrizes padrão $E_{i,j}$ (todos zeros exceto um $1$ no $(i,j)$posição). Isso é,$E_{i,j}$ representa o envio da transformação $e_j\mapsto e_i$ e todos os outros $e_k\mapsto0$. Então uma$\operatorname{End}(E)-$valorizado $k-$formulário é exatamente a soma do formulário $$ \sum_{i,j}\underbrace{\eta^{i,j}}_{\in \Omega^k(U)}E_{i,j}= \begin{bmatrix} \eta^{1,1}&\cdots& \eta^{1,r}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \eta^{r,1}&\cdots& \eta^{r,r} \end{bmatrix}.$$ No caso de $k=1$, isso é chamado de $\operatorname{End}(E)-$valorizado $1-$Formato. Observe que este é um caso especial da construção geral para fibrados vetoriais, uma vez que$\operatorname{End}(E)$é um pacote vetorial. Isso é o que o autor se refere como$\mathcal{A}^1(-,\operatorname{End}(E))$.