Função beta para QED
Qual é a função beta da eletrodinâmica quântica?
Não consigo encontrar em nenhum lugar, exceto no artigo da Wikipedia sobre funções beta , onde a função beta de um loop é fornecida por:$$\beta(\alpha) = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$ No entanto, usando a definição da função beta $$\beta(\alpha) = \frac{d\alpha}{d\ln(\mu)}$$ obtém-se: $$\frac{d\alpha}{d\ln(\mu)} = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$
Depois de reorganizar $$3\pi\frac{d\alpha}{\alpha^2} = d\ln(\mu)$$ e integrando $$-\frac{3\pi}{\alpha} = \ln(\mu) + C = \ln(\mu) - \ln(\mu_0) = \ln(\mu/\mu_0),$$ Onde $C = -\ln(\mu_0)$ é uma constante de integração, o resultado é: $$\alpha(\mu) = -\frac{3\pi}{\ln(\mu/\mu_0)} = \frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)}$$ Isso dá valores não negativos monotonicamente crescentes para $\alpha$ para $\mu < \mu_0$ com uma singularidade em $\mu_0$ (Eu acho que seria o pólo Landau).
No entanto, para qualquer valor finito diferente de zero de $\mu_0$, $\alpha(0)$ parece ser $$\alpha(0) = \lim_{\mu\to0^+}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)} = \lim_{\ln(\mu)\to-\infty}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0)-\ln(\mu)} = 0,$$ enquanto por outro lado $\alpha \approx 1/137$ deve aparecer em baixas energias em vez de zero.
Onde está o problema?
Existe um termo faltando na função beta acima? Por exemplo, substituindo$\alpha^2$ com $(\alpha - \alpha_0)^2$deve dar o resultado esperado, mas não parece estar escrito assim em lugar nenhum. Essa substituição está de alguma forma implícita silenciosamente?
Respostas
Primeiro, uma pequena correção na álgebra.
Eu sigo você até aqui.
\ begin {equation} 3 \ pi \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = d \ ln \ mu \ end {equação}
Então acho que precisamos proceder com cuidado. O caminho que eu faria seria integrar a partir de uma escala de referência$\mu_0$ a uma escala de energia $q$. Então \ begin {equation} 3 \ pi \ int _ {\ mu_0} ^ q \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {equation } Reorganizando isso resulta \ begin {equation} \ frac {1} {\ alpha (q)} - \ frac {1} {\ alpha (\ mu_0)} = - \ frac {1} {3 \ pi} \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {equação}
Se desejar, você pode reorganizar isso para obter \ begin {equation} \ alpha (q) = \ frac {\ alpha (\ mu_0)} {1- \ frac {1} {3 \ pi} \ alpha (\ mu_0) \ ln \ frac {q} {\ mu_0}} \ end {equação}
Ao derivar isso, assumimos implicitamente que podemos usar uma aproximação de um loop para a função beta. Isso requer que os chamados "logs grandes" não apareçam. Na prática, isso significa escolher uma escala de referência$\mu_0$ que não é muito diferente da escala de energia dos processos nos quais você está interessado, $q$.
Tomando $q \ll \mu_0$, você está quebrando essa suposição e precisaria retomar os logs de loarge na função beta.
Ou você pode escolher uma escala de referência $\mu_0$ que está nas energias dos experimentos em que você está interessado. Em baixas energias, $\alpha(\mu_0)$ é pequeno e então $\alpha(q) \approx \alpha(\mu_0)$.
Se isso parece insatisfatório (o que quero dizer com grandes energias?), Apenas observe que $\alpha(q)$ aumentará ligeiramente com o aumento $q$. Se você continuar combinando$\mu_0$ para a escala de energia $q$, eventualmente você chegará a um ponto onde o $\alpha(\mu_0)$ termo no denominador não pode ser ignorado para um intervalo apreciável de $q$.