Generalidade do produto interno

Question

Um produto interno em um espaço vetorial $V$ (sobre o campo $F$ ) é uma função $V \times V \to F$, que se associa a cada par de vetores $\bar{x},\bar{y}$ do $V$ uma quantidade escalar $\langle \bar{x},\bar{y}\rangle$e satisfaz as seguintes propriedades: $$\langle \bar{x},\bar{x} \rangle>0$$

$$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle=\langle \bar{y}, \bar{x} \rangle$$

$$\langle a\bar{x}+b\bar{y},\bar{z}\rangle=a\langle \bar{x},\bar{z}\rangle+b\langle \bar{y},\bar{z}\rangle.$$

Considere o subespaço de todas as funções contínuas em $[a,b]$ ; $\Bbb{C}$. Agora, suponha que tenhamos alguma declaração envolvendo produtos internos que desejamos provar para vetores$\bar{x}, \bar{y} \in \Bbb{C}.$ Por exemplo, digamos que eu opte por usar o seguinte produto interno: $$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle=\int_a^bx(t)y(t) dt.$$

Se a afirmação for verdadeira para este produto interno, também será válida para todos os outros produtos internos$\Bbb{C}$?

Geralmente, ao trabalhar com produtos internos, há um certo grau de escolha quanto ao tipo de produto interno conveniente para aquela situação específica - mas que impacto essa escolha pode ter (se houver)?

Answer 1

Não, uma afirmação verdadeira para um produto interno não é necessariamente verdadeira para outro. Por exemplo, você pode usar um produto interno para definir um comprimento$$ \| x \| = \langle x,x \rangle^\frac12 $$

Sob o produto interno padrão em $\Bbb R$ (definido por $(x, y) \mapsto xy$), temos $$ \| 2 \| = 2 $$por exemplo. Mas sob um produto interno diferente,$(x, y) \mapsto 2xy)$, temos $$ \| 2 \| = 4. $$ Isso pode parecer muito artificial, mas pode ser difícil separar o artificial do não planejado.