Generalize a equação binomial

Question

Estou me perguntando se generalizando o caso $p=2$ nós temos para $1<p<\infty$ que existe uma constante $c(p,l)$ tal que para todos $(z_j)$ com $z_j \in \mathbb C$ este

$$\left\lvert \left\lvert \sum_{j=1}^l z_j \right\rvert^p - \sum_{j=1}^l \left\lvert z_j \right\rvert^p \right\rvert \le c(p,l) \sum_{j \neq k} \vert z_j \vert \vert z_k \vert^{p-1}$$

dentro do estojo $p=2$ Posso ver claramente que está certo, mas aqui, não sei.

Answer 1

Suponha que nem todos $z_i$são zero. Sem perda de generalidade, assuma que$z_1$ tem o maior valor absoluto, e por homogeneidade, assume que $|z_1| = 1$. Deixei$\delta = \sum_{j \geq 2} |z_j|$, assim $\delta \leq l-1$, e observe que o RHS da desigualdade desejada é pelo menos $c(p, l)\delta|z_1|^{p-1} = c(p, l)\delta$.

Vamos encontrar limites nas duas somas do LHS em termos de $\delta$. Para a primeira soma, pela desigualdade do triângulo sempre temos$0 \leq \left|\sum z_j\right|^p \leq (1 + \delta)^p$, e quando $\delta \leq 1$, temos $(1 - \delta)^p \leq \left|\sum z_j\right|^p$também. Agora, para qualquer$\delta$ temos $$(1 + \delta)^p - 1 = \int_0^\delta p(1 + x)^{p-1} \,dx \leq \delta p(1 + \delta)^{p-1},$$ e quando $\delta \leq 1$, $$1 - (1 - \delta)^p = \int_0^\delta p(1 - x)^{p-1} \,dx \leq \delta p \leq \delta p (1 + \delta)^{p-1}$$ também, portanto $|\left|\sum z_j\right|^p - 1| \leq \delta p(1 + \delta)^{p-1}$ Em todo caso.

A outra soma satisfaz $1 \leq \sum |z_j|^p \leq \sum |z_j| \leq 1 + \delta$, conseqüentemente $\left| \sum |z_j|^p - 1\right| \leq \delta$, então segue-se que o LHS de nossa desigualdade desejada é limitado por $\delta p(1 + \delta)^{p-1} + \delta \leq pl^{p-1}\delta + \delta$. Já que nosso RHS era pelo menos$c(p, l)\delta$, é suficiente levar $c(p, l) = pl^{p-1} + 1$.

Esta escolha de $c(p, l)$provavelmente está longe de ser o ideal. No caso em que tudo$z_j = 1$, nós vemos que $c(p, l)$ deve ser pelo menos $\approx l^{p-2}$, e acho que isso está mais perto do ideal.