Genericidade de embeddings equivariantes

Question

Eu gostaria de fazer uma versão equivariante dessa pergunta .

Deixar $M$ ser um coletor fechado equipado com a ação de um grupo de Lie compacto $G$. Pelo teorema de incorporação de Mostow-Palais,$M$ pode ser incorporado de forma equivariante em $\mathbb{R}^n$ para alguns $n$, Onde $G$ é realizado como um subgrupo de $GL(n,\mathbb{R})$.

Pergunta vaga: suponha$f:M\to\mathbb{R}^n$ é um contínuo $G$mapa -equivariante. Eu gostaria de saber o quão perto$f$ é para uma incorporação, se tivermos permissão para fazer $n$ arbitrariamente grande.

Uma tentativa de um fraseado mais preciso:

Questão 1: vamos$f:M\to\mathbb{R}^n$ seja um contínuo $G$mapa -equivariante. É verdade que (assumindo$n$ é suficientemente grande) para qualquer $\epsilon>0$, existe um contínuo $G$- incorporação equivariante $f':M\to\mathbb{R}^n$ de modo que a imagem de $f'$ está contido no $\epsilon$-bola em torno da imagem de $f$?

De forma geral:

Pergunta 2: e se$G$ é um grupo linear não compacto, mas o quociente $G\backslash M$ é compacto?

Answer 1

Wasserman ( Equivariant Differential Topology , Topology, 8 (1969), pp. 127-150) provou um teorema de incorporação generalizado de Whitney sob a suposição de que$G$ é compacto.

Abaixo você pode encontrar o enunciado de um de seus teoremas (Corolário 1.10 no artigo mencionado acima).

Def . Deixar$V$ ser uma representação dimensional finita de $G$. UMA$G$-múltiplo $M$é subordinado a$V$ E se $\forall x \in M \exists U$ vizinhança invariante de $x$ e incorporação suave equivariante $U\to V^k $ para alguns $k>0$.

Thm (Wasserman) If$M^n$ é subordinado a $V$, então qualquer mapa uniforme equivariante $f:M\to V^k$ pode ser aproximado $C^r$ e uniformemente por uma imersão equivariante se $k\geq 2n$ e imersão equivariante 1-1 se $k\geq 2n+1$. Se$C$ é um subconjunto fechado de $M$, e $f|C$ é uma imersão (ou incorporação) com a qual a aproximação pode ser escolhida para concordar $f$ sobre $C$.