Gradiente em coordenadas esféricas

Question

Estou tentando derivar o vetor gradiente em coordenadas polares esféricas: $$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$$O método que estou tentando usar é diferente da maioria dos papéis / vídeos que encontrei e não entendo por que não funciona. Consigo obter expressões para os diferenciais cartesianos:$dx, dy, dz$. Primeiro, estou apenas tentando encontrar$\frac{\partial}{\partial x}$em coordenadas esféricas. Eu tenho:$$dx= \cos \theta \sin \phi dr + r \cos \theta \cos \phi d \theta + r \sin \theta \sin \phi d \phi$$ Isso parece estranho, mas minha primeira intuição foi dizer que: $$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{ \partial }{ \cos \theta \sin \phi dr + r \cos \theta \cos \phi d \theta + r \sin \theta \sin \phi d \phi} $$ O que parece não fazer nenhum sentido agora :(. Se minha lógica estiver errada, alguém poderia me explicar por quê?

Answer 1

Este é um exemplo clássico de por que tratar algo como $\frac{dy}{dx}$como uma fração literal em vez de uma notação abreviada para um limite é ruim. Se você quiser derivá-lo dos diferenciais, você deve calcular o quadrado do elemento de linha$ds^2 .$ Começar com $$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$ em coordenadas cartesianas e, em seguida, mostrar

$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 (\theta) d\varphi^2 \; .$$Os coeficientes nos componentes para o gradiente neste sistema de coordenadas esféricas serão 1 sobre a raiz quadrada dos coeficientes correspondentes do elemento de linha. Em outras palavras

$$\nabla f = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1}}\frac{\partial f}{\partial r} & \frac{1}{\sqrt{r^2}}\frac{\partial f}{\partial \theta} & \frac{1}{\sqrt{r^2\sin^2\theta}}\frac{\partial f}{\partial \varphi} \end{bmatrix} \; .$$ Lembre-se de que esse gradiente não possui vetores de base não-formalizados.

Para um sistema de coordenadas geral (que não necessariamente tem uma base ortonormal), organizamos o elemento de linha em uma "matriz" simétrica com dois índices $g_{ij} .$ Se o elemento de linha contém um termo como $f(\mathbf x)dx_kdx_\ell\; \;$ então $g_{k\ell} = f(\mathbf x).\;$ O gradiente é então expresso como

$$\nabla f = \sum_i \sum_j \frac{\partial f}{\partial x_i}g^{ij}\mathbf e_j$$ Onde $\mathbf e_j$ não é necessariamente um vetor normalizado e $g^{ij}$ é a matriz inversa de $g_{ij}$.