Grassmanian é um múltiplo (Hirsch)

Question

Estou tentando fazer um exercício do Livro de Hirsch, Topologia Diferencial, que basicamente quer que eu prove que $G_{n,k}$ é um múltiplo.

A variedade Grassmaniana $G_{n,k}$ do $k$subespaços dimensionais ou $k-$aviões de $\mathbb{R}^n$recebe um atlas da seguinte forma. Deixei$E\subset \mathbb{R}^n$ seja um $k-$avião, podemos identificar $\mathbb{R}^n\cong E\bigoplus E^\perp$. Cada$k$-avião perto o suficiente $E$ é o gráfico de um mapa linear único $T:E\rightarrow E^{\perp}$.

Agora eu não vejo porque esta afirmação é verdadeira e como isso vai me dar um conjunto aberto, alguém pode me dar algumas dicas? Desde já, obrigado.

Answer 1

Dica : você pode interpretar "$F$ está perto o suficiente de $E$" Como "$F\cap E^\perp=\{0\}$"e os subespaços com esta propriedade definem a vizinhança aberta de $E$que você está procurando. Assumindo isso, qualquer elemento de$\mathbb R^n$ pode ser escrito exclusivamente como a soma de um elemento de $F$ e um elemento de $E^\perp$. Fazendo isso para elementos de$E$ e, em seguida, mapear para o $E^\perp$-component define um mapa linear $E\to E^\perp$, cujo gráfico é $F$. Desde o espaço$L(E,E^\perp)$de mapas lineares é um espaço vetorial de dimensão finita, você pode construir gráficos como tendo valores neste espaço. (Como alternativa, escolha as bases e interprete os gráficos como tendo valores em espaços de matrizes.)