Grupo linear geral do módulo do produto tensor

Question

Suponha $V_1$ e $V_2$são espaços vetoriais de dimensão finita. Então$GL(V_1)\times GL(V_2)$ age em $V_1\otimes V_2$, e as órbitas sob esta ação são precisamente os conjuntos de tensores de posto fixo. Uma consequência é que o número de órbitas é$1+\min\{\dim(V_1),\dim(V_2)\}$.

Estou interessado no que acontece quando estendemos de dois espaços vetoriais para três. O que pode ser dito sobre o conjunto de$GL(V_1)\times GL(V_2)\times GL(V_3)$ orbita em $V_1\otimes V_2\otimes V_3$? Existem infinitas órbitas?

Answer 1

Boa pergunta! Esta não é uma resposta, mas é um pouco longa para ser um comentário. Eu já não sei a resposta quando todos os espaços vetoriais têm dimensão$2$o que é um pouco chocante para mim. Depois de brincar com o análogo da redução de linha ("redução de plano") para um$2 \times 2 \times 2$tensor Consegui reduzir as coisas a uma família de um parâmetro que não sei como reduzir ainda mais. Na verdade, isso deve ser escrito como um$2 \times 2 \times 2$ cubo, mas até que eu aprenda como escrevê-lo, aqui está uma maneira de escrevê-lo: nomeie os espaços vetoriais $X, Y, Z$ e dar-lhes bases $\{ x_1, x_2 \}, \{ y_1, y_2, \}, \{ z_1, z_2 \}$. Então eu não sei se a família de tensores de um parâmetro

$$x_1 y_1 z_1 + x_2 y_1 z_2 + x_1 y_2 z_2 + t x_2 y_2 z_2$$

(com $\otimes$escrito como concatenação para salvar notação) consiste em elementos em órbitas distintas ou não. Alguém sabe a resposta de uma forma ou de outra? A forma normal de Kronecker para lápis de matriz pode ser relevante, mas ainda não entendi.