Grupos finitos / infinitos

Question

Qual das seguintes afirmações é / são verdadeiras?

a) Existem infinitos grupos finitos nos quais cada elemento de não identidade tem ordem $2$.

b) Existe um grupo infinito em que cada elemento não-identidade tem ordem $2$.

c) Existe um grupo infinito no qual existem elementos de ordem $n$ para todos $n\in \Bbb N$.

d) Existem infinitos grupos infinitos em que cada elemento de não identidade tem ordem finita.

Minha tentativa: a opção 2 parece correta, pois tenho um exemplo de tal grupo (conjunto de potência de números naturais sob a operação binária de diferença simétrica é um exemplo), mas não posso concluir nada sobre outras opções.

Sobre a opção 1, parece que é verdade, tendo em mente $\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2\times\cdots$mas ainda estou confuso. Para as duas últimas opções, não tenho nenhuma ideia conclusiva que possa aplicar aqui. Por favor, guie.

Answer 1

(a) Para $n\geq 1$, $\prod_{i=1}^n\Bbb{Z}_2$ é um grupo finito em que cada elemento não trivial tem ordem $2$. Portanto, existem infinitos grupos desse tipo.

(b) $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_2$ é o grupo desejado.

(c) Você pode considerar o exemplo $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$. Então, para cada$n\in \Bbb{N}$, $\frac{1}{n}+\Bbb{Z}$ é um elemento de ordem $n$ dentro $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$.

(d) Para $n\geq 2$, $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_n$é um grupo infinito em que cada elemento não trivial tem ordem finita. Portanto, existem infinitos grupos desse tipo.

Answer 2

Se for mais fácil para você conceituar, você pode considerar cada elemento finito, mesmo que o grupo como um todo seja infinito.

Por exemplo, para (2), podemos pegar cada elemento de $G$ ser uma sequência finita consistindo em $1$ e $-1$ e terminando em $-1$(a identidade é a sequência nula). Encontrar$ab$, nós multiplicamos os valores de $a$ e $b$ em pares, então termine a sequência no último $-1$. Se forem de comprimentos diferentes, acrescentamos$1$ para o mais curto, vezes o suficiente para torná-los do mesmo comprimento, depois multiplique. $G$ é infinito porque, embora cada elemento individual tenha um comprimento finito, há um número infinito desses comprimentos finitos.

Uma estratégia semelhante funciona para (3) e (4). Para (3), tomamos sequências finitas em que o$n$o valor é um elemento de $\mathbb Z_n$, a menos que a sequência tenha comprimento 1, o último valor não é $1$. Para (4), simplesmente pegamos variações de (3). Por exemplo, podemos iniciar a sequência em$\mathbb Z_k$. Ou pegue$k$ cópias de (3), etc.