Grupos mínimos insolúveis

Question

Por "grupo mínimo não solucionável", quero dizer um grupo não solucionável cujos todos os subgrupos adequados são solucionáveis.

Preciso de uma prova ou contra-exemplo para a seguinte proposição:

Deixei $G$ser um grupo finito mínimo não solucionável. Em seguida, ocorre um dos seguintes:

(uma) $G$ é um grupo simples não abeliano finito;

(b) $G$ tem um subgrupo normal de ordem principal $N$, de modo que o grupo quociente $\dfrac{G}{N}$ é um grupo simples não abeliano finito.

Agradeço antecipadamente

Answer 1

Não é verdade. Um contra-exemplo é uma extensão não dividida$2^3.L_3(2)$ de um grupo abeliano elementar de ordem $8$ pelo grupo simples ${\rm SL}(3,2)$.

Então $G$ tem um subgrupo normal $N$ com $G/N$ simples, mas $N$ não tem ordem primária.