Deixar $n$ ser o tamanho do triângulo e $(a,b,c)$ as coordenadas baricêntricas de um determinado hexágono dentro desse triângulo, de modo que $a+b+c = n+2$. Eu afirmo que o tempo médio de fuga$E$ quando começar a partir desse hexágono é $\frac {3abc} {n+2}$(1). Na verdade, temos o sistema de equações$E(a,b,c) = 1 + \frac{E(a+1,b-1,c) + E(a,b+1,c-1) + E(a-1,b,c+1) + E(a-1,b+1,c) + E(a,b-1,c+1) + E(a+1,b,c-1)} {6}$
e é simples verificar se o $E$ dado por (1) satisfaz essas equações e as condições de contorno que são $E(a,b,c) = 0$ E se $a=0 \vee b=0 \vee c=0$.

Resta uma média sobre os pontos de partida: $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \sum_{a+b+c = 19} \frac {3abc} {19}$ A soma pode ser reconhecida como até prefatores do coeficiente binomial $\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix}$ produzindo $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \times \frac {3} {19} \times\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix} = 21$

Para ter alguma intuição para a fórmula $\begin{pmatrix}N+2n \\ 2n+1 \end{pmatrix} = \sum_{i_0,\ldots,i_n \ge 1, i_0+\ldots+i_n = N+n} i_0 \cdots i_n$lembre-se que o coeficiente binomial no lhs pode ser interpretado como o volume (número de balas de canhão) em uma pilha em forma de pirâmide 2n + 1-dimensional de balas de canhão com N balas de canhão ao longo de cada borda. Isso pode ser mostrado por um argumento de estrelas e barras de rotina usando coordenadas baricêntricas.
Fonte: wikipedia public domain

Deixando as sutilezas da discretização de lado, vamos projetar o $2n+1$-simplex (que tem $2n+2$ coordenadas baricêntricas) para o $n$-simplex (que tem $n+1$coordenadas baricêntricas) simplesmente combinando coordenadas e somando pares. Podemos agora perguntar quais são a forma e o volume do subconjunto do grande simplex que é mapeado para um único ponto no pequeno simplex. Pode
-se deduzir que deve ser um (hiper) cubóide, mas talvez seja mais fácil apenas olhar para uma imagem: Fonte: wikipedia CC BY-SA 4.0 Tomruen

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