Ideal em $\mathbb{N}$ com certa propriedade

Question

Deixei $\mathcal{I}$ seja um ideal em $\mathbb{N}$que contém todos os conjuntos finitos e pelo menos um conjunto infinito. Defina um filtro

$\mathcal{F}:=\{D\subseteq\mathbb{N}\mid \forall A\in\mathcal{I},A\cap D^{c}\text{ is finite, or equivalently} A\subseteq^{*}D\}$.

$\mathcal{F}$ contém o filtro de cofinito, e parece que se $\mathcal{I}$ é primo então $\mathcal{F}$não contém mais nada. O inverso é válido? Em outras palavras, digamos que um ideal tenha a propriedade P se o filtro correspondente for o filtro cofinito. P é o mesmo que ser primo? Ou existe uma caracterização simples de P?

Alguém sugeriu que isso é o mesmo que pedir $\mathcal{E}\subseteq(\mathcal{P}_{coinf}(\mathbb{N}),\subseteq^{*})$ que é ilimitado sob $\subseteq^{*}$e gera um ideal não-primo adequado. Descobri que não sei nada sobre este poset. Qual é o seu tipo de cofinal? Qual é a sua relação com outros posets, como$(\mathbb{N}^{\mathbb{N}},<^{*})$?

Histórico: Eu estava pensando se definiríamos uma topologia em $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ exigindo que certas sequências convergem para $\infty$, haverá mais (e quais) sequências convergindo para $\infty$do que esperávamos. Veja também esta pergunta.

Answer 1

Dado $P_1,P_2$ ideais não principais principais em $\mathbb{N}$ com $P_1\neq P_2$, deixei $\mathcal{I}= P_1\cap P_2$. Então$\mathcal{I}$ é um ideal contendo todos os conjuntos finitos, mas não primos (pois deve haver algum $A\subseteq \mathbb{N}$ com $A\notin P_1, A^c\notin P_2$)

Contudo $\mathcal{I}$ satisfaz a propriedade P: Dado qualquer $D$ não cofinito, podemos particionar $D^c$ para dentro $4$ peças infinitas: $D_{11,}D_{12},D_{21},D_{22}$. Então$D_{i1}\cup D_{i2}\in P_1$ para alguns $i$ e $D_{1j}\cup D_{2j}\in P_2$ para alguns $j$. portanto$D_{ij}\in \mathcal{I}$ e $D_{ij}\cap D^c=D_{ij}$ é infinito.

Answer 2

Deixei $X$ ser uma família máxima quase disjunta de subconjuntos de $\mathbb{N}$, e deixar $\mathcal{I}$ seja o ideal gerado por $X$. Então$\mathcal{F}$ será o filtro de cofinito: se $D\in\mathcal{F}$ então $D^c$ é quase separado de todos os elementos de $X$, e, portanto, deve ser finito por maximalidade de $X$. Contudo,$\mathcal{I}$não é principal. Por exemplo, se você pegar duas subfamílias desconexas e contáveis ​​e infinitas$Y,Z\subset X$, então, por um argumento de diagonalização simples, você pode construir $A\subset\mathbb{N}$ que quase contém todos os elementos de $Y$ e é quase separado de todos os elementos de $Z$. Então$A\not\in\mathcal{I}$ uma vez que cada elemento de $\mathcal{I}$ tem interseção infinita com apenas elementos finitos de $X$, e $A^c\not\in\mathcal{I}$ pela mesma razão.