Integral de $\exp(-\|x\|_p)$

Question

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ Deixei $1 \leq p < \infty$ e deixar $d$ser um número inteiro positivo. Eu quero mostrar isso$$I := \int_{\RR^d} \exp\left(-\|x\|_p\right) dx = \frac{(2\Gamma(1/p))^d}{p^{d-1}}\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(d/p)}.$$ Devido ao $L^p$norma, o integrando não é radialmente simétrico. Se eu converter para coordenadas esféricas, acabo com$$I = \Gamma(d) \int_{S^{d-1}} \frac{d\sigma(x)}{\|x\|_p^d} $$ Onde $\sigma$é a medida esférica. Como devo proceder a partir daqui? Ou, alternativamente, como devo calcular essa integral? Eu gostaria de cálculos detalhados!

Answer 1

Uma abordagem simples é ver que, para qualquer $f$ de modo que a integral no LHS abaixo exista, temos $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=K_{p,d}\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt,\tag{*}\label{maineq}$$ Onde $K_{p,d}$ não depende de $f$ (digamos, nós substituímos $x=tg(y)$ Onde $x=g(y)$ é uma parametrização de $\|x\|_p=1$; o Jacobiano de tal substituição é da forma$t^{d-1}h(y)$ com algum $h$ não dependendo de $t$)

Encontrar $K_{p,d}$, nós escolhemos $f$de modo que ambos os lados de \ eqref {maineq} são fáceis de calcular. Levar$f(t)=e^{-t^p}$: $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=\left(\int_\mathbb{R} e^{-|x|^p}\,dx\right)^d=\big(2\Gamma(1/p)/p\big)^d,\\\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt=\int_0^\infty t^{d-1}e^{-t^p}\,dt=\Gamma(d/p)/p,$$ de modo a $K_{p,d}=\frac{2^d\Gamma^d(1/p)}{p^{d-1}\Gamma(d/p)}$. Para obter a resposta, resta colocar$f(t)=e^{-t}$ em \ eqref {maineq}.