Interpretação matemática CNOT
Eu costumava pensar que o CNOT inverte as amplitudes do qubit alvo com a chance de $b^2$ Onde $b$ é o $|1\rangle$amplitude do qubit de controle. Isso resulta em que o estado final (após CNOT) do qubit alvo será:$$ \sqrt{a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2} \big|0 \big\rangle + \sqrt{a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2} \big|1 \big\rangle $$ (a intuição é que com probabilidade $a^2$ não há reviravolta, e com probabilidade $b^2$a inversão ocorre) Mas, de fato, após duas aplicações sequenciais de tal fórmula no qubit alvo, tal qubit não terminará no estado inicial. Então, ou a interpretação superior está errada ou eu errei a matemática em algum lugar. Se minha interpretação estiver incorreta, você poderia fornecer uma correta? Se estiver correto, ajude-me a derivá-lo em termos de probabilidade e a entender como a matriz unitária CNOT o faz funcionar.
Respostas
Para uma única operação CNOT, a abordagem mais simples é pensar em termos de lógica booleana. Matematicamente, isso geralmente é representado por adição modular, o que dá a ação do CNOT como$$\vert A, B \rangle \rightarrow \vert A, A \oplus B \rangle,$$ Onde $\vert A, B \rangle$ é o produto tensorial de $\vert A \rangle$ e $\vert B \rangle$e $\oplus$ é o mod 2 de adição. Se isso parece estranho para você, basta escrever o $2 \times 2$tabela verdade e você verá que não há nada de complicado acontecendo aqui (exceto, possivelmente, alguma notação desconhecida). Também é fácil ver que$A \oplus A \oplus B = B$, dando o resultado esperado após a aplicação sequencial.
Outra abordagem é usar as ferramentas da álgebra linear e representar CNOT como uma transformação unitária. Uma vez que CNOT é uma operação de dois qubit, a dimensão da transformação é$2^2=4$, dando $$\vert A, B \rangle \rightarrow U_{CNOT}\vert A,B \rangle, \;\;\; U_{CNOT}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{bmatrix}.$$ Também vale a pena trabalhar isso manualmente se houver alguma confusão sobre por que funciona, observando que $U_{CNOT}{}^2=I$.
Uma das premissas problemáticas implícitas na equação OP é que $\vert A \rangle$ e $\vert B \rangle$são separáveis após CNOT, o que geralmente não é verdade. Em outras palavras, se$\vert A \rangle$ e $\vert B \rangle$são emaranhados após CNOT, eles não podem mais ser representados como uma combinação linear de estados puros. Neste ponto, as matrizes de densidade tornam-se relevantes para evitar lidar com vetores exponencialmente grandes após uma série de portas de múltiplos qubit.
Editar em resposta ao comentário:
Levado ao seu fim lógico, sua interpretação leva a uma correlação clássica entre os resultados de medição dos dois estados qubit. Os experimentos de Bell e CHSH mostraram sem sombra de dúvida que estados de qubit emaranhados não são classicamente correlacionados.
Portanto, pelo menos nos casos em que CNOT cria emaranhamento, sua interpretação é inconsistente com a experiência. Infelizmente, depois de um século de debate sobre o assunto, ainda não está claro qual é a interpretação correta (ou mesmo se existe). Ainda mais infelizmente, existem inúmeras interpretações plausíveis que são consistentes com o experimento.