Invertibilidade de função específica
Este é o meu primeiro post. Não sou um matemático, apenas um engenheiro eletrônico que adora matemática. Em um de meus projetos, cheguei à seguinte função:
$$V\left(\varphi\right)=\frac{A\sqrt{\pi-\varphi+\sin{\varphi\cos{\varphi}}}}{\sqrt{2\pi}}$$
O projeto requer $V\left(\varphi\right)$ ser invertido, para obter o ângulo $\varphi$ (desconhecido), de uma tensão $V$ (conhecido). $V\left(\varphi\right)$é contínuo e estritamente monotônico (descendente), portanto, deve existir um mapeamento inverso. Tentei inverter simbolicamente, mas não consegui chegar a uma solução de forma fechada para$\varphi\left(V\right)$. Acabei usando o MATLAB para computá-lo numericamente e o projeto foi concluído com sucesso.
Por pura curiosidade, pedi ao meu primo (um matemático) que tentasse inverter simbolicamente a função acima, mas ele também não conseguiu, nem mesmo me deu uma resposta rigorosa quanto à existência dessa solução. Então, minhas perguntas são as seguintes:
- Faz uma expressão de forma fechada para $\varphi\left(V\right)$ existir?
- Se a resposta para (1) for SIM, alguém pode fornecer essa função ou indicar um método para derivá-la?
- Se a resposta para (1) for NÃO, qual é a razão formal para isso? Existe como mostrar / provar que tal solução não existe?
Peço desculpas se este problema for muito fácil, muito óbvio ou mesmo irrelevante para a comunidade MathOverflow. Já o postei na comunidade Mathematics Stack Exchange (para estudantes e profissionais), onde recebi algumas respostas que confirmam vagamente minha suspeita de que uma expressão de forma fechada para$\varphi\left(V\right)$não existe. No entanto, as respostas foram muito descritivas ou usaram expansões da série de Taylor para inverter a função, o que não é o que eu quero. Nenhuma resposta forneceu respostas rigorosas às minhas perguntas. Por isso, pensei em postar o problema aqui, onde são discutidos tópicos mais avançados, na esperança de que alguém possa me fornecer algumas respostas rigorosas. Este não é um exercício de lição de casa e o problema prático associado já foi resolvido numericamente. Este post foi feito por pura curiosidade sobre a invertibilidade de funções da forma de$V\left(\varphi\right)$. Muito obrigado a todos por suas respostas.
Adicionando alguns gráficos, para melhor ilustrar o problema.
A figura a seguir mostra como a função que procuramos, $\varphi\left(V\right)$, parece. Observe que parece não haver simetria nesta função. Os valores de$\varphi$ mentir no intervalo $[0,\pi]$, enquanto os valores de $V\left(\varphi\right)$ mentir no intervalo $[0,\frac {A} {\sqrt2}]$.
Com base no comentário de @PietroMajer, o problema pode ser reduzido à inversão de função $k=x-\sin(x)$. Neste caso, os valores de ambos$x$ e $k$ mentir no intervalo $[0,2\pi]$. A figura a seguir mostra um gráfico do inverso de$k=x-\sin(x)$, junto com um gráfico da própria função (linha tracejada). Traçar ambos no mesmo gráfico é útil, uma vez que ambos têm o mesmo intervalo para suas variáveis independentes e dependentes. Pode-se observar que agora há uma clara simetria desta função no ponto$(\pi,\pi)$, graças à remoção do termo raiz quadrada. Isso significa que só precisamos lidar com o intervalo$[0,\pi]$, e usar simetria nesse resultado para obter a outra metade ($[\pi,2\pi]$)
Por favor, veja minha resposta aceita em Mathematics Stack Exchange , para algumas aproximações úteis do inverso de$k=x-\sin(x)$, e de $\varphi\left(V\right)$. Eles podem não ser de muito interesse para matemáticos puros, mas, sendo um engenheiro eletrônico, considero-os muito úteis na solução de problemas práticos envolvendo a inversão de$k=x-\sin(x)$ ou funções semelhantes.
Respostas
A resposta à questão de saber se o inverso tem uma forma fechada depende, é claro, da definição de "forma fechada". Uma definição plausível é que uma função de forma fechada é uma função que se encontra na chamada extensão Liouvilliana de$\mathbb{C}(x)$, o campo das funções racionais de $x$com coeficientes complexos. Não vou dar a definição exata de uma extensão Liouvilliana, mas basta dizer que qualquer função que você pode obter por meio de um número finito de aplicações de adição, subtração, multiplicação, divisão, tomando$n$as raízes, a exponenciação e a obtenção de logaritmos serão uma função de forma fechada neste sentido. Observe que, como estamos trabalhando com os números complexos, obtemos funções trigonométricas e suas inversas também. Portanto, isso cobre tudo que quase todos concordariam ser "forma fechada". (As extensões Liouvillianas também incluem funções algébricas que não são expressas usando radicais; nem todo mundo consideraria tais funções expressáveis na "forma fechada", mas como vamos mostrar que uma determinada função não é expressável na forma fechada, ela não custa incluir funções extras em nossa classe de "funções de forma fechada".)
Provas rigorosas de que funções específicas de interesse não são liouvillianas remontam, naturalmente, a Liouville, com contribuições posteriores de outros autores (por exemplo, Ritt, como mencionado por Iosif Pinelis). Novamente, revisar a teoria geral está além do escopo de uma resposta do MathOverflow, mas felizmente, quando se trata de encontrar inversos, existe um teorema de Rosenlicht ("Sobre a solubilidade explícita de certas equações transcendentais," Publicações Mathématiques de l'IHÉS 36 (1969), 15–22) que pode ser usado para lidar com muitas das "equações transcendentais" simples que surgem na prática. Declarado um pouco informalmente, o caso especial relevante do teorema de Rosenlicht é o seguinte.
Teorema. Suponha que$y_1, \ldots, y_n$ e $z_1, \ldots, z_n$ são funções de forma fechada de $x$ satisfatório $$\frac{y_i'}{y_i} = z_i', \qquad i=1,\ldots,n.$$ E se $\mathbb{C}(x,y_1, \ldots,y_n,z_1,\ldots,z_n)$ é algébrico sobre ambos $\mathbb{C}(x,y_1,\ldots,y_n)$ e $\mathbb{C}(x,z_1,\ldots,z_n)$, então $y_1,\ldots,y_n$ e $z_1,\ldots z_n$ são todos algébricos $\mathbb{C}(x)$.
À luz da observação de Pietro Majer, vamos usar este teorema para mostrar que a função $f$ definido implicitamente pela equação $x = f - \sin f$(A equação de Kepler, conforme observada por Rob Corless) não tem expressão de forma fechada. Só vamos precisar do caso especial$n=1$do teorema. O primeiro passo é escrever tudo em termos de exponenciais. Lembre-se disso$\sin f = (e^{if}-e^{-if})/2i$, então se definirmos $z := if$ então temos a equação $$x = -iz - \frac{e^z - e^{-z}}{2i}.\qquad\qquad(*)$$ A equação $y'\!/y = z'$ aparecendo no teorema de Rosenlicht é secretamente a equação $y=e^z$disfarçado. Portanto, o que precisamos fazer é introduzir funções extras para representar as exponenciais que aparecem, para transformar nossas equações em equações polinomiais. Aqui, tudo o que precisamos fazer é definir$y=e^z$. Então$y'\!/y = z'$ e equação $(*)$ torna-se $$x = -iz- \frac{y - 1/y}{2i}.\qquad\qquad (**)$$ Agora estamos prontos para aplicar o teorema de Rosenlicht com $n=1$. Certamente$\mathbb{C}(x,y,z)$ é algébrico $\mathbb{C}(x,y)$ Porque $z$ é na verdade uma função racional de $x$ e $y$. Também é verdade que$\mathbb{C}(x,y,z)$ é algébrico $\mathbb{C}(x,z)$ Porque $y$ satisfaz uma equação quadrática com coeficientes que são polinomiais (de fato, lineares) em $x$ e $z$. A hipótese do teorema é, portanto, satisfeita. O que isso nos diz?
Bem se $f$ é uma função de forma fechada de $x$, então é $z=if$ assim como $y=e^z = e^{if}$. Então se$f$ é uma função de forma fechada, então o teorema de Rosenlicht nos diz que $y$ e $z$devem de fato ser funções algébricas de$x$.
Isso ainda não é uma contradição, mas não é tão difícil mostrar que $y$ e $z$ não podem ser funções algébricas de $x$. Podemos usar o argumento de Bronstein et al. em seu artigo mostrando que o Lambert$W$ função não é Liouvilliana ("propriedades algébricas do Lambert $W$função de um resultado de Rosenlicht e Liouville, " Integral Transforms and Special Functions 19 (2008), 709–712).$z$ tem um pólo de ordem finita (no plano complexo estendido), então $y$ tem uma singularidade essencial, mas isso contradiz a Equação $(**)$já que o lado esquerdo não tem singularidades. então$z$ deve ser constante, mas isso é um absurdo.
A propósito, de acordo com Rosenlicht, o próprio Liouville já sabia que a solução para a equação de Kepler não é Liouvillian, mas eu não verifiquei o artigo de Liouville pessoalmente.
[Estou fazendo esta resposta wiki da comunidade, pois me beneficiei das observações de vários outros entrevistados.]
A mudança de variável dada acima por Pietro Majer mostra que isso é equivalente à equação de Kepler Wikepedia na Equação de Kepler, que se acredita não ter nenhuma solução de forma fechada (muito menos uma solução elementar). Na verdade, não tenho tanta certeza de que isso seja verdade e não conheço nenhuma prova.
De acordo com o Teorema 23 de Ritt (página 89) (veja também o primeiro parágrafo na página 90 desse artigo e a definição de monômios (Liouville) de primeira ordem na página 70 lá), seu inverso desejado é uma função elementar apenas se$t-\sin t\,\cos t$ é uma função algébrica de $e^{v(t)}$ ou $\ln v(t)$ para alguma função algébrica $v$. No entanto, neste ponto, não vejo como verificar a última condição no seu caso.
O Mathematica também não pode inverter sua função:
