Isotopia ambiental e isotopia

Question

Na nota de aula do meu curso de teoria do nó, há uma explicação muito curta por que precisamos de isotopia ambiental em vez de apenas isotopia. Ele usa a seguinte figura para ilustrar sem qualquer explicação. Eu não entendo por que é normal fazer um nó se desatar quando é isotopia, mas não é OK quando é isotopia ambiente. Alguém pode dar uma explicação intuitiva?

Referência

Answer 1

A ideia do diagrama é demonstrar que a isotopia entre dois embeddings é uma noção incorreta de equivalência de nós. Observe que um nó é uma incorporação:

$k:S^1\to \mathbb{R}^3$ (ou mais convenientemente $\mathbb{S^3}$)

Dados dois nós (embeddings) $k_0$ e $k_1$, podemos construir uma isotopia de embeddings:

$k_t:S^1\times [0,1] \to S^3$

tal que para cada $t\in [0,1]$, $k_t$ é uma incorporação.

Para qualquer nó domesticado, podemos construir uma isotopia que intuitivamente "puxa" a parte com nó de um nó para baixo até um ponto (como ilustrado). Para qualquer$t<1$ o nó não se auto-intercepta, e para $t=1$a incorporação é aquela do desatamento e, portanto, não se autointercepta. Portanto, o mapa descrito é uma isotopia de embeddings. No entanto, este mapa não é diferenciável (suave) em torno$t=1$. Para evitar tornar todos os nós domesticados equivalentes, uma medida de equivalência mais sensível é adotada, na qual a isotopia dos encaixes é suave.

Para reconciliar isso com a definição padrão de equivalência de nó via isotopia ambiente, deve-se notar que qualquer isotopia suave de embeddings se eleva a uma isotopia ambiente.