Isso pode ser escrito como um modelo linear?

Question

$$y_i=\frac{(x_{0i}\beta_0+x_{1i})+\log(\beta_1^2 x_{2i})}{x_{3i}}+e_i\quad,\,i=1,\ldots,n,\,x_{pj}>0$$

Estou me perguntando se isso pode ser escrito como um modelo linear, não pensei assim por causa do termo Beta1 na parte do log da equação. Mas eu adoraria alguns esclarecimentos.

Obrigado!

Answer 1

Sim pode.

O subscrito "$i$"é supérfluo, então vamos deixá-lo de lado. Supondo que seus parâmetros sejam os betas e os x sejam os dados, seu modelo é

$$\begin{aligned} y &= \frac{x_0\beta_0 + x_1 + \log\left(\beta_1^2 x_2\right)}{x_3} + e \\ &= \beta_0 \frac{x_0}{x_3} + \frac{x_1}{x_3} + \log(\beta_1^2)\frac{1}{x_3} + \frac{\log(x_2)}{x_3} + e. \end{aligned}$$

Será conveniente colocá-lo em um formato padrão com todos os deslocamentos (termos constantes) à esquerda, assim:

$$\begin{aligned} w &= y - \frac{x_1}{x_3} - \frac{\log(x_2)}{x_3} \\&= \beta_0 \frac{x_0}{x_3} + \log(\beta_1^2)\frac{1}{x_3} + e \\ &= \gamma_0 z_0 + \gamma_1 z_1 + e \end{aligned}$$

Onde $\gamma_0=\beta_0$ e $\gamma_1 = \log \beta_1^2$ são parâmetros e $w,$ $z_0 = x_0/x_3,$ e $z_1=1/x_3$são reexpressões dos valores dos dados. Todos eles serão bem definidos (ou seja,$x_3$ não será zero e $\beta_1$ não será zero) se e somente se o modelo original fizer algum sentido.

Este modelo re-expresso obviamente é linear tanto nos novos parâmetros quanto nos dados re-expressos, bem como no termo de erro $e:$ isso o torna um modelo de regressão múltipla simples.

Finalmente, os parâmetros originais (os betas) podem ser recuperados dos parâmetros estimados $\hat\gamma_i$ Como

$$\hat\beta_0 = \hat\gamma_0;\ \hat\beta_1 = \pm\exp(\hat\gamma_1/2).$$

Referências

Como saber a diferença entre modelos de regressão linear e não linear ?, URL (versão: 2016-03-18): https://stats.stackexchange.com/q/148713