Jogadores e ingressos
Você está entre os N jogadores que irão disputar uma competição. Uma loteria é usada para determinar a colocação de cada jogador. Você tem uma vantagem. Dois tickets com seu nome são colocados em um chapéu, enquanto para cada um dos outros jogadores apenas um ticket com seu nome é colocado no chapéu. O chapéu é bem sacudido e os tíquetes são tirados um a um do chapéu. A ordem dos nomes que aparecem determina a colocação de cada jogador. Qual é a probabilidade de você receber a atribuição$n$º colocação para $n = 1, 2, . . . , N$?
A probabilidade de meu nome ser sorteado em $k$as tentativas são $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (ou seja, dizer $k-1$ falhas antes do primeiro sucesso em $k$) Eu sei que a solução é$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$.
Deixei $A_i$ seja o evento em que meu nome compairs apareça em $i$ª tentativas. Então:
$\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;
$\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$
$\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$.
Então eu pensei que
$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$
mas não posso me levar ao produto acima. Onde estou errado?
Respostas
Eu obtenho (quase) o mesmo resultado que você, supondo que "Uma vez que um nome tenha sido desenhado e colocado, quaisquer tickets futuros com esse nome serão ignorados"
$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$
há $n-1$ termos lidando com o primeiro $n-1$empates sem sucesso e o último com empate com sucesso. Os denominadores diminuem em 1 em cada fator, à medida que o número de bilhetes para sacar diminui em 1 após cada sorteio. Pela primeira vez$n-1$ termos (os sorteios malsucedidos) o enumerador diminui em 1 também, então a diferença entre o denominador e o enumerador sempre será $2$ nesses termos (representando seus 2 ingressos).
Esse resultado pode ser escrito como
$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$
Sua "solução conhecida" é dar o produto vazio para $n=1$, então isso significaria probabilidade 1, o que obviamente não é correto. Portanto, verifique se você copiou corretamente.
Sua solução é bastante simplificada. Por algum motivo, \ cancel não funciona, então tentei indicar o que quero dizer mostrando os termos que cancelam na mesma cor. Só posso mostrar os primeiros termos dessa forma, infelizmente.
$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$
Esta é a melhor maneira de fazer isso.
Deixei $1\leq n\leq N$seja dado.
Deixei$A$ seja o evento em que seu nome esteja no $n$ª passagem. Deixei$B$ seja o evento que você nomeia não está em nenhum dos ingressos $1,2,\dots,n-1$. Nós buscamos$\Pr(A\cap B)$.
$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$
O primeiro termo é óbvio. Para o segundo, há$N$ lugares onde o outro tíquete com seu nome pode estar, e $N+1-n$ deles vêm depois do $n$ª passagem.
Se você realizar a simplificação descrita acima, chegará a esta resposta simples.
Talvez eu não esteja entendendo como esse experimento de probabilidade está sendo conduzido, mas estou recebendo uma resposta diferente de todos os outros. Talvez alguém possa apontar por que meu raciocínio é impróprio, se é que é?
Vamos supor que, uma vez que o nome de um jogador tenha sido escolhido, quaisquer tickets futuros com esse nome sejam ignorados.
O número de maneiras pelas quais os ingressos podem ser sorteados para que seu nome apareça no $n^{th}$ slot é ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$
O número total de formas como os tíquetes podem ser sacados é ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$
Dividir esses dois dá a cobiçada probabilidade de $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$
Para ver isso, podemos olhar um exemplo específico. Suponha que você seja a pessoa nº 1 jogando na loteria com$N-1=2$ outras pessoas e $ \{1,1^*\} $ representa seus dois tíquetes contribuintes do $N+1=4$bilhetes no chapéu. Iremos denotar a coleta de todos os ingressos no chapéu por$\{1,1^*,2,3\}$. Podemos listar todos${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ possíveis ordenações dos nomes explicitamente: $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ A probabilidade de você ser atribuído ao $n^{th}$ colocação é $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ para $n=1,2,3$ o que faz total sentido para mim.