Kernel e imagem de projeção ortogonal

Question

Deixei $X$ ser um espaço Hilbert e $Y$ ser um subespaço fechado, cada vetor $x \in X$ pode ser representado exclusivamente como $x=y+z$, $y \in Y$, $z \in Y^\bot$. Então o mapa$$P_Y:X \to X, \quad P_Y(x)=y$$ é chamada de projeção ortogonal em $X$ para $Y$.

Eu preciso provar isso $\text{Im}(P_Y)=Y$ e $\ker(P_Y)=Y^\bot$.

Quanto à imagem: o resultado parece seguir direto da definição: $$P_Y(x)=y \in Y \quad \forall x \in X \implies \text{Im}(P_Y)=Y.$$

Kernel: parece óbvio, mas é difícil pensar em qualquer prova.

Answer 1

Para a imagem você provou apenas uma restrição, a saber ${\rm im}(P_Y)\subseteq Y$.
A outra contenção é mantida porque$P_Y(y)=y$ para cada $y\in Y$.

Para o kernel, basta escrever as definições: suponha que um $x\in X$ é dado, decomponha-o como $x=y+z,\ y\in Y,\ z\in Y^\perp$, então $$P_Y(x)=P_Y(y+z)=y$$ Então é $0$ sse $y=0$ sse $x=z$ sse $x\in Y^\perp$.