Kernel integral de $e^{itH_{0}}$

Question

Na mecânica quântica, o estado evoluído no tempo de um sistema de uma partícula é dado por $\psi(x,t) = e^{-itH_{0}}\psi_{0}(x)$, Onde $H_{0} = \frac{1}{2}\Delta$ é o hamiltoniano livre, $t\in \mathbb{R}$ e $\Delta$é o operador Laplace usual. Eu vi em algum lugar que ambos$e^{itH_{0}}$ e $e^{tH_{0}}$têm núcleos integrais, ou seja, \ begin {eqnarray} (e ^ {- itH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0} (x, y, t ) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} e \ begin {eqnarray} (e ^ {- tH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int_ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ tilde {K} _ {0} (x, y, t) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray } onde$K_{0}(x,y,t) = (2\pi i t)^{-d/2}e^{i\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$ e $\tilde{K}(x,y,t) = (2\pi t)^{-d/2}e^{\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$.

Questão: Como posso provar (\ ref {1}) e (\ ref {2})?

Answer 1

Basicamente, temos um PDE $\partial_t \varphi(t,\vec{x}) = \alpha \, \Delta\varphi(t,\vec{x}).$

Pegando a transformada de Fourier no $\vec{x}$ argumento resulta no ODE $\partial_t \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = -\alpha \, |\vec{k}|^2 \, \hat{\varphi}(t,\vec{k})$ com solução $$ \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t} \hat{\varphi}(0,\vec{k}). $$

O lado direito é o produto de duas funções de $\vec{k}$ e é, portanto, a transformada de Fourier de uma convolução: $$ \varphi(t,\vec{x}) = \left(u(t,\cdot)*\varphi(0,\cdot)\right)(\vec{x}), $$ Onde $\hat{u}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t}.$

Se $\operatorname{Re}\alpha \geq 0$ então $\hat{u}$ pode ser transformado, resultando em $$ u(t,\vec{x}) = (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}|^{2}}{2\alpha t}}. $$

Desse modo, $$ \varphi(t,\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^d} (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}-\vec{y}|^{2}}{2\alpha t}} \, \varphi(0,\vec{y}) \, d^dy. $$