Limitando o $\mathbb{E}|X|^p $ e $\mathbb{E}|Y|^p$ de $\mathbb{E}|X+Y|^p$ [duplicado]

Question

Estou tentando provar a seguinte afirmação:

Deixei $X, Y$ser duas variáveis ​​aleatórias independentes. Se por algum$p>0$, $\mathbb{E}(|X+Y|^p)<\infty$, então $\mathbb{E}(|X|^p)$ e $\mathbb{E}(|Y|^p)$ são ambos finitos.

O problema que estou tendo é que todas as desigualdades em que consigo pensar neste caso estão na direção oposta do que realmente quero provar. Por exemplo, a desigualdade de Minowski me permite concluir que$$\mathbb{E}|X+Y|^p \leq [(\mathbb{E} |X|^p)^{1/p} +(\mathbb{E} |Y|^p)^{1/p}]^p $$, mas isso não é de nenhuma ajuda em termos da direção da inqualidade. Também me esforcei para encontrar uma maneira de utilizar o pressuposto da independência. Eu apreciaria se alguém pudesse dar uma dica.

Answer 1

Desde a $|X+Y|^p$ é integrável com respeito a $\mathbb P$, podemos definir a expectativa condicional $\mathbb E[|X+Y|^p | \mathcal G]$ com respeito a qualquer $\sigma-$campo $\mathcal G \subset \mathcal F$. Deixei$\mathcal G = \sigma(X)$ por exemplo.

Por propriedades de expectativa condicional e independência, obtemos:

$$ \infty > \mathbb E[|X+Y|^p] = \mathbb E[ \mathbb E[ |X+Y|^p | \sigma(X) ] ] = \mathbb E[ H(X)] $$

Onde $H(t)= \mathbb E[|t+Y|^p]$. Em particular, devemos ter$H(X) < \infty$ $\mathbb P-$quase com certeza, de modo que precisamos ter pelo menos um $t \in \mathbb R$ de tal modo que $H(t) < \infty$, o que significa que há algum $t \in \mathbb R$ de tal modo que $\mathbb E[|t+Y|^p] < \infty$

Mas então $$\mathbb E[|Y|^p] = \mathbb E[ |(Y+t) + (-t)|^p] \le \Big(\big(\mathbb E[|Y+t|^p]\big)^{\frac{1}{p}} + |t| \Big)^p < \infty$$

Da mesma forma, mudando para $\sigma(Y)$ nós conseguiremos $\mathbb E|X|^p < \infty$.