Limite com logaritmo complexo

Question

Esses limites que envolvem o ramo principal do logaritmo natural existem? $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\ln(z^2-1)$$

Eu acho que o primeiro limite é apenas $i\pi$. Mas não sei como justificar.

Para o segundo limite, o ponto $z\rightarrow 0$está no corte do ramo. Então eu acho que o limite aí não existe porque$\ln$não está definido. Isso está correto?

Qualquer ajuda é apreciada.

Answer 1

Para $z \in \mathbb C\setminus \{0\}$, Você tem $\Im(-i \vert z \vert -1) = -\vert z \vert <0$.

Conseqüentemente $$\lim\limits_{z \to 0} \ln(-i\vert z \vert -1)=-i\pi.$$

Nota: no entanto, o mapa $f : z \mapsto \ln(-i\vert z \vert -1)$ não é contínuo em zero como $f(0) =i\pi$.

E você está certo quanto ao segundo limite: ele não existe.

Answer 2

Vamos começar com o primeiro! $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ nós sabemos isso $$e^{i{\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)$$ $$ln(e^{i{\theta}})=ln(cos(\theta)+isin(\theta)) $$ $$i\theta=ln(cos(\theta)+isin(\theta))$$ $$\boxed{\theta=-iln(cos(\theta)+isin(\theta))} \quad (1)$$ Então, se tivermos: $$ln(-1)$$ significa que $$cos(\theta)=-1 \space and \space sin(\theta)=0$$ $$\theta=arccos(-1)$$ portanto $$\theta={\pi}$$ Agora podemos substituir em $$ \quad (1)$$ $$\boxed{\pi=-iln(cos(\pi)+isin(\pi))}$$ $$\boxed{i{\pi=ln(-1)}}$$Você pode justificar o segundo exercício da mesma maneira. (Desculpe pelo meu inglês e minhas habilidades de digitação)