Limite de valor singular
Deixar$M \in \mathbb{R}^{d\times d}$seja uma matriz antisimétrica. Existe um limite inferior/superior ou igualdade relacionando as duas quantidades$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$O lado direito é o quadrado do menor valor singular de$A$. Observe também que$u^* A u$deve ser puro imaginário enquanto$u^* A^T A u$deve ser real.
De fato, o comentário abaixo de Stephen mostra que o lado esquerdo é zero. E as matrizes gerais$A$, não necessariamente antisimétrico?
Respostas
Obrigado Stephen por apontar para a desigualdade de Cauchy-Scharz: temos$$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$para vetor normal$u$e matriz real$A$, por isso$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$para qualquer matriz real$A$. O lado esquerdo é zero para antisimétrico$A$.