Limite do subespaço de um espaço normado

Question

Estou lidando com o seguinte problema fácil e tenho certeza que quando ver uma solução direi "ahhh", mas até agora não consegui descobrir:

Deixei $X$ ser um espaço normatizado e $S \subseteq X$. Mostre que se$\{f(x):x \in S\}$ é limitado para cada funcional linear contínuo $f \in X^*$ então o set $S$ é limitado.

Então, temos isso para cada $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ segura isso $\|f(S)\| \leq K$ para alguns $K$. Além disso, desde$f$ é contínuo em um espaço normalizado, então é limitado, e assim obtemos $\|f(S)\| \leq \|f\| \|S\| \leq C \|S\|$ para alguns $C$. A partir daqui, parece que estou perto de terminar, mas não vejo uma conclusão. Alguma dica?

Answer 1

Tenho certeza de que descobri.

Para cada $s \in S$, definimos um operador $$ \begin{matrix} T_s: &X^* &\rightarrow &\mathbb{R} \\ &f &\mapsto &f(s). \end{matrix} $$ Nós temos isso $T_s \in X^{**}$ e $$ \|T_s\|=\sup_{\|f\|=1}\|T_s(f)\|=\sup_{\|f\|=1}\|f(s)\| \leq K_s. $$ Portanto a familia $\{T_s\}_{s\in S}$ é delimitado por pontos e, portanto, pelo Princípio Uniforme de Limite, existe um limite uniforme $K>0$. Além disso, da incorporação natural$X \to X^{**}$ nós temos isso $\|T_s\|=\|s\|_X$, e assim podemos concluir que $$ \sup\{\|x\|:x \in S \} \leq K. $$