Limite superior em uma função com gradiente contínuo titular.

Question

Deixei $f : \mathbb R^d \to \mathbb R$ser diferenciável com gradiente contínuo Holder, ou seja , existe$L < \infty$ e $\alpha \in [0, 1]$ de tal modo que

$$ \| \nabla f(x) - \nabla f(y)\| \le L \| x - y\|^\alpha \quad \forall x, y\in \mathbb R^d.$$

Então, como mostrar isso

$$f(y) \le f(x) + \langle \nabla f(x), y-x\rangle + \frac{1}{1 + \alpha} \|y-x\|^{1+\alpha} \quad \forall x, y \in \mathbb R^d.$$

Answer 1

A desigualdade correta deve ser \ begin {equation} f (y) \ le f (x) + \ langle \ nabla f (x), yx \ rangle + \ frac {L} {1 + \ alpha} \ | yx \ | ^ {1+ \ alpha} \ quad \ forall x, y \ in \ mathbb R ^ d. \ end {equation} Caso contrário, pegue$x^2$ como contra-exemplo.

O truque comum para lidar com este tipo de desigualdade é notar que \ begin {equation} f (y) - f (x) = \ int_0 ^ 1 \ langle \ nabla f (x + t (yx)), yx \ rangle dt , \ end {equação} e, portanto, \ begin {equação} f (y) - f (x) - \ langle \ nabla f (x), yx \ rangle = \ int_0 ^ 1 \ langle \ nabla f (x + t ( yx)) - \ nabla f (x), yx \ rangle dt, \ end {equation} Deve ser simples o suficiente para você a partir daqui, mas apenas no caso: \begin{align}|f(y) - f(x) - \langle\nabla f(x), y-x\rangle | &\le \int_0^1 |\langle \nabla f(x + t(y-x)) - \nabla f(x), y-x\rangle |dt \\ &\le \int_0^1 \|\nabla f(x + t(y-x)) - \nabla f(x)\| \|y-x\|dt \\ &\le \int_0^1 L\|t(y-x)\|^\alpha \|y-x\|dt \\ &= L\|y-x\|^{1+\alpha} \int_0^1 t^\alpha dt \\ &= \frac{L}{1+\alpha}\|y-x\|^{1+\alpha}. \end{align}