Linear Funcional over $\mathbb{R}$ Espaço vetorial

Question

Se feg são dois funcionais lineares diferentes de zero em $\mathbb{R}$ Espaço vetorial $V$[dimensão finita]. Tanto que sempre$f(x)\geq 0$ temos $g(x)\geq 0$. A reivindicação é$Ker(f)=Ker(g)$ e $f=\alpha g$ para alguns $\alpha > 0.$

Meu Pensamento :

Cada funcional linear a partir de $V$ para $\mathbb{R}$ é da forma $f(x)=\sum_{i=1}^{n} a_ix_i$ e $g(x)=\sum_{i=1}^{n} b_ix_i$ Onde $x=\sum_{i=1}^{n} x_ie_i$.
Concluir$Ker(f)=Ker(g)$.
$f(x)=0$ $\implies g(x) \geq 0.$ Agora se $g(x)=0$então nada para mostrar. E se$g(x) > 0$ então considerando $g(x)-f(x)=g(x)$ Nós temos $$\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)x_i=\sum_{i=1}^{n}b_ix_i$$ Não podemos concluir daqui que $b_i-a_i=a_i$ para todos $1\leq i\leq n$. Direito? Se não, podemos chegar a uma contradição de que$f$ é $0$.

Uma observação :

E se $(g(x) \geq 0$ e $f(x)<0)$ então $f(-x)>0\implies g(-x)\geq 0 \implies g(x)=0. $

Daí se $g(x) >0$ então $f(x) \geq 0.$

Answer 1

Vamos supor o contrário que existe $x\in\ker(f)$ de tal modo que $x\not\in\ker(g)$. Agora$f(x)=0$, então devemos ter $g(x)\ge0$, ou mais precisamente $g(x)>0$ como assumimos $g(x)\ne0$. Mas então$g(-x)=-g(x)<0$. Apesar$f(-x)=0$. Isso contradiz nossa condição. então$\ker(f)\subseteq\ker(g)$.

Para provar a inclusão reversa, vamos assumir que existe $x\in\ker(g)$ de tal modo que $x\not\in\ker(f)$. Agora pegue qualquer$y$ de tal modo que $g(y)<0$. Tal um$y$ deve existir, porque para qualquer $z$ com $g(z)>0$, $g(-z)<0$, e assumimos que $g$não é a função zero. Agora deixe$k>|f(y)|/|f(x)|$. Então se$f(x)>0$, então $f(y+kx)>0$, caso contrário, se $f(x)<0$, então $f(y-kx)>0$. Mas$g(y+kx)=g(y-kx)=g(y)<0$. Portanto, contradiz nossa condição. então$\ker(g)\subseteq\ker(f)$.

Pegue qualquer $x\not\in\ker(g)$. Deixei$g(x)=r$. Deixei$y=r^{-1}x$. Então$g(y)=1$. Também deixe$\alpha=f(y)$. Agora como$f$ e $g$ são funcionais lineares diferentes de zero, então a dimensão de sua imagem é $1$. Pelo teorema da nulidade de classificação, temos$V=\ker(g)+\mathrm{span}(y)$. Então, qualquer$v\in V$ pode ser escrito como $v=z+ky$, Onde $z\in\ker(g)$ e $k\in\mathbb{R}$. Então$$f(v)=f(z+ky)=f(z)+kf(y)\stackrel{(1)}{=}k\alpha=\alpha(g(z)+kg(y))=\alpha g(v)$$ Onde $(1)$ segue do fato de que $z\in\ker(g)=\ker(f)$. Conseqüentemente$f=\alpha g$.