localização e profundidade

Question

Deixei $A$ seja um anel e $p$ser um ideal primordial. Por considerações elementares, temos que$\operatorname{depth}_p A_p \geq \operatorname{depth}_p A$. É verdade que o inverso é válido se$p$ é maximal?

Esta questão surgiu enquanto eu tentava resolver o Problema III.3.5 na Geometria Algébrica de Hartshorne. Deixei$U$ ser um subconjunto aberto de um esquema Noetheriano e $p \in U$ um ponto fechado, ou seja, $p$é um ideal máximo em um aberto afim. Neste problema, é necessário caracterizar a extensibilidade única das seções do feixe de estrutura de$U \setminus p$ para $U$ em termos da profundidade do anel local em $p$.

Esta questão surgiu naturalmente ao tentar resolver o problema acima.

Answer 1

Na notação de Bruns e Herzog sabe-se que $\mathrm{grade}(\mathfrak p,A)\le\mathrm{depth}(A_{\mathfrak p})$ para cada ideal principal $\mathfrak p$uma vez que uma sequência regular permanece regular após a localização.
Em geral, não é verdade que$\mathrm{grade}(\mathfrak p,A)=\mathrm{depth}(A_{\mathfrak p})$, e um contra-exemplo é o seguinte: $A=K[X,Y,Z]/(X^2,XY,XZ)$ e $\mathfrak p=(x,y)$, Onde $x$, respectivamente $y$ denotam as classes de resíduos de $X$, respectivamente $Y$. Nós temos$\mathrm{grade}(\mathfrak p,A)=0$ Desde a $x\mathfrak p=0$, e $\mathrm{depth}(A_{\mathfrak p})=1$.
Tal fenômeno ocorre desde$\mathfrak p$não é um primo associado.
Para ideais máximos, isso não pode acontecer. Ou seja, se$\mathfrak m$ é um ideal máximo com $\mathrm{grade}(\mathfrak m,A)=0$, então $\mathfrak m\in\mathrm{Ass}(A)$, e assim $\mathfrak mA_{\mathfrak m}\in\mathrm{Ass}(A_{\mathfrak m})$ que mostra isso $\mathrm{depth}(A_{\mathfrak m})=0$.
Isso leva imediatamente à conclusão de que$\mathrm{grade}(\mathfrak m,A)=\mathrm{depth}(A_{\mathfrak m})$ para cada ideal máximo $\mathfrak m$.