Matrizes binárias e similaridade

Question

Considere o espaço de matrizes quadradas $\mathcal{B}$ que pegam entradas de $\{0,1\}$. Eu gostaria de encontrar matrizes ortogonais$Q$ de modo que, para uma matriz $B \in \mathcal{B}$, o Matrix $Q^TBQ \in \mathcal{B}$. Ou seja, a matriz$Q^TBQ$também é uma matriz binária. Os candidatos óbvios para$Q$ são matrizes de permutação.

Existem outras matrizes ortogonais? Além disso, estou pensando em outros casos em que a matriz pode aceitar entradas$\{-1,0,1\}$. Como encontrar pares$(Q_1,Q_2)$ de tal modo que $Q_1^TBQ_2 \in \mathcal{B}$. Você poderia sugerir alguns recursos que podem me ajudar a ter uma ideia sobre como fazer isso?

Answer 1

Caso 1 (onde $\mathcal{B}$ consiste em matrizes 0/1) serão preservadas apenas por matrizes de permutação (isto é, este é o grupo de matrizes ortogonais que estabilizam o conjunto $\mathcal{B}$) Para mostrar isso, suponha$Q$é uma matriz ortogonal, mas não uma matriz de permutação. Ao escolher uma matriz apropriada em$\mathcal{B}$, você pode verificar facilmente que

1. Todas as entradas de $Q$ são 0/1.
2. Nenhuma linha ou coluna de $Q$ tem mais de 1 entrada diferente de zero.

Para uma matriz particular $B$, essas matrizes irão enviar $B$ para outra matriz em $\mathcal{B}$, é claro, e possivelmente outras matrizes ortogonais também (pelo menos se $B= 0$ ou se $B=J$, a matriz unificada, qualquer matriz ortogonal enviará $B \mapsto B$); você terá que determinar isso de uma forma ad-hoc (embora possa valer a pena tentar mostrar que as matrizes de permutação são as únicas que funcionam sob suposições adequadas sobre$B$; talvez assumindo$B$tem classificação de linha completa). A coleção de todas essas matrizes não formará necessariamente um grupo.

Para o Caso 2 (onde as entradas de matrizes em $\mathcal{B}$ estão dentro $\{0,\pm1\}$, Acho que será fácil mostrar que o grupo de matrizes que estabilizam o conjunto $\mathcal{B}$ consistirá em matrizes de permutação onde todas as entradas podem ser $\pm1$ modificando a parte 1 das observações acima (aqui uma matrizes médias $Q = \mathrm{diag}(\pm1, \ldots, \pm1)P$, Onde $P$ é uma matriz de permutação).

Edit: Isso pode ser muito mais complicado se você quiser encontrar todos os pares$(Q_{1}, Q_{2})$ com $Q_{1} \neq Q_{2}$. Ou talvez não, eu não tentei.