Máximo de $(\sin{x} + \sqrt3)(\cos{x}+1)$

Question

O problema é

Máximo de $(\sin{x} + \sqrt3) (\cos{x}+1)$

Eu tentei definir $\sin(t) = y$, $\cos(t) = x$, de modo que o problema acabou sendo encontrar

Max $(y + \sqrt3)(x + 1)$

st $x^2 + y^2 =1 $

Tentei multiplicadores de Lagrange, mas acabou sendo uma equação quártica.

Também tentei uma transformação linear de modo que o problema se tornasse

Max $x^2 - y^2$

st $(x + \frac{\sqrt3+1}{2})^2 + (y - \frac{\sqrt3-1}{2})^2 = 1$

Desde a $x^2-y^2$ é a superfície de sela, a resposta ainda não é trivial.

Você pode me ajudar a encontrar a saída?

Answer 1

Podemos proceder por identidades tangentes de meio-ângulo para obter

$$f(t)=\left(\frac{2t}{1+t^2} + \sqrt3\right) \left(\frac{1-t^2}{1+t^2} + 1\right) \implies f'(t)=-4\frac{\sqrt 3t^3+3t^2+\sqrt 3t-1}{(1+t^2)^3}$$

e desde

$$g(t)=\sqrt 3t^3+3t^2+\sqrt 3t-1 \implies g'(t)=3\sqrt 3t^2+6t+\sqrt 3=3\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^2\ge 0$$

nós temos isso $f'(t)$ tem apenas uma raiz que corresponde ao máximo para $f(t)$.

Agora desde

$$g'(t)=3\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^2 \implies g(t)=\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^3+c$$

expandindo encontramos $c=-\frac43$ portanto, a raiz é dada por

$$\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^3=\frac43 \implies t\approx 0.339$$