Máximos e mínimos com forma quadrática e hessiana

Question

Eu tenho uma função $f: R^2\rightarrow R, f(x_1,x_2)=x_1(x_1-1)x_2$. Eu tenho que encontrar máximos e mínimos desta função. Eu descobri que os pontos críticos são$P_1(0,0)$ e $P_2(1,0)$. eu sei$P_2$é um ponto de sela porque o Hessian para este ponto é negativo. Para o outro ponto, em vez disso, não posso provar que é um ponto de sela porque ambas as formas Hessiana e Quadrática são iguais a zero, e não consigo encontrar um teorema em meu livro ou na internet que leve em conta conta neste caso. Eu gostaria de uma dica de como resolver isso, desde já agradeço.
Hessian:$$detHf=-4x_1$$ Forma quadrática de um ponto crítico $x^0$: $$Q(h_1,h_2)=(1/2)[2x^0_2h_1^2+4x^0_1h_1h_2]$$

Answer 1

Para $0 < h <1$ Você tem

$$\begin{aligned} f(h,h) = h^2(h-1) <0\\ f(h,-h)= -h^2(h-1) >0 \end{aligned}$$

Provando isso $(0,0)$ que não é mínimo nem máximo é um ponto de sela.