Medida Externa do Produto Cartesiano com Intervalo

Question

(Peço desculpas antecipadamente se isso já foi perguntado, mas olhei em volta e não encontrei nada que respondesse minha pergunta)

Deixei $\lambda_m^*$ denotam a medida externa de Lebesgue em $\mathbb{R}^m$, e $[a,b]$ ser um intervalo de $\mathbb{R}$. E se$A$ é um subconjunto (não necessariamente mensurável de Lebesgue) de $\mathbb{R}^n$, é possível dizer que:

$\lambda_{n+1}^*(A \times [a,b]) = \lambda_n^*(A) (b - a)$?

É bastante simples ver que o lado esquerdo é menor ou igual ao lado direito (isso é verdade para produtos cartesianos arbitrários), e que a igualdade se mantém se $A$é Lebesgue mensurável. Mas e o caso geral?

Não tenho certeza de qual é a melhor maneira de encontrar uma prova ou um contra-exemplo, então alguma ajuda seria muito apreciada.

Answer 1

Por conveniência, defina $n=1$ e deixar $\epsilon>0$. Há um conjunto aberto$A\times [a,b]\subseteq V'\in \mathbb R^2$ de tal modo que $\lambda_{2}^*(V')\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])+\epsilon$. Agora$V'=\bigcup_{i}U_i\times (\alpha_i,\beta_i)$ Onde $U_i\subset \tau_{\mathbb R}$. É só porque$V'$é uma união de elementos básicos na topologia do produto. Na verdade, o$U_i$ são apenas intervalos abertos, mas se $n>1,$eles serão cubos abertos (ou discos). Mas$V:=\bigcup_{i}U_i\times [a,b]\subseteq V'$, e $A\times [a,b]\subseteq V$ então $\lambda_{2}^*(V)\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])+\epsilon.$

Agora, por definição da medida externa do produto $\lambda_{2}^*(V)=\lambda_{2}^*(\bigcup_{i}U_i\times [a,b])=\lambda_{1}^*(\bigcup_{i}U_i)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])$ então $\lambda_{1}^*(A)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])\le \lambda_{1}^*(\bigcup_{i}U_i)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])+\epsilon.$

Isto mostra que $\lambda_{1}^*(A)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])$ e como você provou a outra desigualdade, o resultado segue.